黄耀英，郑 宏，田 斌

（1.三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌 443002；2.中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071）

信息熵理论在岩体结构加速流变破坏分析中的应用研究

黄耀英1，2，郑 宏2，田 斌1

（1.三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌 443002；2.中国科学院武汉岩土力学研究所岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071）

将信息熵理论应用于黏弹性及黏塑性问题分析，通过单元弹性应变能和单元总应变能所对应的信息熵的对比，发现：不可逆流变应变对应的能量为耗散能，以单元弹性应变能计算的信息熵可以较好地反映结构从无序到有序的演变过程；然后将信息熵应用于不同岩体结构的加速流变破坏分析。结果表明：结构信息熵与节点位移具有良好的一致性；信息熵先因能量耗散而逐渐减小；结构加速流变破坏时，信息熵达到极小值。

信息熵；耗散；加速流变；破坏

1 概 述

能量耗散与结构损伤、劣化、塑性变形及强度丧失直接相关，近年来，越来越多的学者关注和重视从能量耗散的角度去研究结构的破坏问题［1］。朱维申等［2，3］将能量耗散模型应用于三峡船闸高边坡工程，其认为西原流变模型中的黏弹性变形和黏塑性变形都是耗散能；谢和平等［4］对岩体变形破坏过程的能量机制进行了研究，认为耗散能用于形成材料内部损伤和塑性变形，其变形能满足热力学第二定律。Shannon于1948年提出了熵（Entropy）的概念［5］，即它代表着关于“不确定性”的一种度量，1957年Jaynes提出了描述这种不确定性的数学方法即极大熵原理［6］。由于系统的熵值和系统状态的无序度存在着一一对应关系，而结构的破坏过程就是从无序（稳定态）向有序（非稳定态）演变的过程，因此在得到结构临界平衡条件的基础上，通过计算结构在这一过程中的“熵”，就可以方便地对结构的状态进行度量。陈建军等［7］证明了结构信息熵是具有单个峰值的上凸函数，当且仅当各单元的应变能密度彼此相等时，结构的熵达到最大值。许传华等［8］应用耗散结构理论、熵及突变论等非线性科学理论研究了岩石非线性稳定问题；杜华冬等［9］将反映结构破坏无序性的熵的概念应用于实际工程，分析表明随着超载倍数的增大，系统熵逐渐减小。丛培江等［10］将熵理论应用于混凝土开裂扩展过程，分析表明随着外荷的增大，信息熵逐渐增大，其认为裂缝起裂后，断裂过程区的应变能重新分布，系统能量分布的集中状况得到一定的缓解，在此过程中产生的熵为正熵，所以系统的熵值随着外荷载的增大而增大。赵瑜等［11］基于耗散结构理论，对隧道围岩卸荷演化过程的Kolmogorov熵进行了分析。周翠英等［12］对岩石变形破坏的熵突变过程与破坏判据进行了研究。但将信息熵理论用于分析岩体结构加速流变破坏尚未见有关文献报道，据此，本文将信息熵理论应用于黏弹性及黏塑性问题分析，对比单元弹性应变能和单元总应变能计算的信息熵，然后将信息熵应用于岩体结构的加速流变分析。

2 基本原理

2.1 岩体结构加速流变破坏分析

假设节理岩体的弹黏塑性计算模型如图1所示。

图1 节理岩体等效流变模型Fig.1 Equivalent rheologicalmodel of jointed rock mass

岩石和节理的弹黏塑性本构关系：

（1）岩石采用D P屈服准则，其弹黏塑性本构关系为

式中DR为岩石的弹性矩阵。

（2）节理采用M C屈服准则，其弹黏塑性本构关系为

式中Dj为节理弹性矩阵。

式中：knj，ksj分别为法向和切向刚度系数；dj为节理间距。

根据应变叠加原则，节理岩体的应变为岩石的应变和节理的应变之和，即

上式中：D为节理岩体弹性矩阵；Tj为转换矩阵，其一般形式为

对于完整岩石，在进行流变分析时，不需要考虑式（6）中的节理部分。

图1中，ηR（t），ηj1（t）和ηjn（t）为非线性黏滞系数。为了反映当岩石或节理发生屈服以后随时间的加速流变特性，本文假设非线性黏滞系数随荷载作用时间的增加而减小，即采用下式来表示，

式中：A，B，C为与材料相关的常数；t为流变时间。

2.2 信息熵理论

1948年，Shannon提出了信息熵的概念，表达式为

式中：Ф为正的常数，本文分析时，取Ф＝1；pi是信息源中第i种信号出现的概率；ln pi是它带来的信息量；S表征了信息量的大小，是一个系统状态不确定性的量度。

采用有限单元法进行结构流变问题分析时，设在拓扑形式、边界条件和作用荷载给定的n个单元的结构中，第i个单元具有的应变能为qi（i＝1，2，…，n），则系统的总应变能Q为

显然，新引入的物理量λi≥0（i＝1，2，…，n），具有完备性和非负性，其力学含义表示第i个单元的应变能在总应变能中所占的份额。为了综合反映不同结构应变能的分布状况，定义结构的信息熵函数S为

文献［7］已证明，结构的信息熵S为具有单个峰值的上凸函数，当且仅当各单元的应变能彼此相等时，即当λi＝1／n（i＝1，2，…，n）时，结构的熵S达到最大值。

本文在计算结构信息熵时，对第i个单元的应变能分别取弹性应变能或弹性应变能与黏性应变能之和进行对比。

其中，弹性应变能采用式（15）计算，即

式中：σij为应力分量；εeij为弹性应变分量。

此时，外力功为

式中：Sσ为面力边界；珋fi为其上的面力；珔Pj为集中力；Δue为弹性位移。

黏性应变能为

式中Δuc为黏性位移，其余符号含义同前。

3 算例分析

3.1 均质岩性结构算例

图2为受内压作用的均质岩性厚壁圆筒，内径ra＝0.1 m，外径rb＝0.2 m。作用均布内压p，设结构的弹性模量为31 GPa，泊松比为0.2；对比分析了如下3组工况。

图2 有限元计算网格Fig.2 FEM mesh

工况1：假设材料满足n＝1的广义开尔文模型，开尔文元件的弹性模量为80 GPa，黏滞系数为1.15×1012（Pa·d），均布压力p为1.0 MPa。

工况2：假设材料满足弹 黏塑性模型，采用内切圆锥的D P屈服准则，凝聚力为1.83 MPa，内摩擦角为59.2°，黏滞系数为η0＝1.15×105（Pa·d），计算黏塑性应变率的函数Φ（F）＝F／F0，F＝αI1＋K，F0＝K，均布压力p为1.0 MPa。

工况3：考虑结构的加速流变η＝η0／（0.001t2＋1.0）（Pa·d），t为流变时间，其余条件与工况2同。

计算3种工况下的外力功和应变能，见图3。3种工况下的信息熵，见图4。

图3 不同工况下外力功和应变能比较Fig.3 Externalwork and strain energy in different load cases

图4 不同工况下信息熵比较Fig.4 Information entropy in different load cases

由图可见：

（1）3种工况计算的弹性应变能和黏性应变能之和，与外力功极为接近，最大误差仅为3%。

（2）采用广义开尔文模型进行黏弹性问题分析时，无论采用弹性应变能计算信息熵，还是采用弹性应变能和黏性应变能之和计算信息熵，信息熵基本不变，究其原因为广义开尔文模型的黏弹性应变可逆，结构没有能量耗散。

（3）对结构进行弹 黏塑性分析时，由于黏塑性应变为不可逆应变，其对应的能量为耗散能，此时，系统的信息熵随时间逐渐减小。当采用弹性应变能计算信息熵时，信息熵先减小，达到极小值3.092 7后，然后增大，信息熵达到极小值时可认为是结构破坏，即从“无序”走向“有序”，这与流变位移也是吻合的。而采用弹性应变能和黏性应变能之和计算信息熵，虽然信息熵逐渐减小，但不能反应结构破坏的过程。

3.2 结构面加速流变分析

设一块体为2 m×2 m×2 m，中间夹有结构面，结构面厚0.05 m，底部位移完全约束，结构面用薄层单元模拟，有限元模型如图5所示。块体的弹性模量为20 GPa，泊松比为0.2，块体采用内切圆锥D P屈服准则，凝聚力为1.5 MPa，内摩擦角为45°，黏滞系数为1.15×106（Pa·d），计算黏塑性应变率的函数Φ（F）＝F／F0，F＝αI1＋－K，F0＝K；结构面采用莫尔 库仑屈服准则，凝聚力0.1 MPa，内摩擦角为20°，黏滞系数η＝2×109／（0.001 t2＋1）（Pa·d），t为流变时间，计算黏塑性应变率的函数Φ（F）＝F／F0，F＝（＋tanφσz′－c，F0＝ 1；作用荷载p1＝1.0 MPa，p2＝1.0 MPa。由计算结果图6可见，结构的信息熵和切向位移具有良好的一致性，信息熵因能量耗散而逐渐减小，结构加速流变破坏时，信息熵达到极小值2.705 7，然后略有增大。

图5 有限元模型Fig.5 FEM model

图6 切向位移和信息熵过程线比较Fig.6 Comparison between tangential displacement curve and inform ation entropy curve

3.3 节理岩体边坡加速流变分析

具有一组贯通节理面的岩质边坡，如图7所示。节理贯通率为100%，节理倾角为45°，节理平均间距为5 m，在边坡上作用均布压力。xjyjzj为节理面坐标系，yj与y平行。岩石和节理的材料参数如表1所示；岩石的黏滞系数ηR＝5×106／（0.001 t2＋1.0）（Pa·s），节理面的黏滞系数ηj＝2×106／（0.001t2＋1.0）（Pa·s），t为流变时间。由图8可见，结构信息熵与典型节点水平向位移具有良好的一致性。信息熵先因能量耗散而逐渐减小，节理岩体加速流变破坏时，信息熵达到极小值3.743 4，然后略有增大。

图7 节理岩体边坡Fig.7 Jointed rock slope

表1 节理岩体的材料参数Table1 Parameters of jointed rock

图8 节点水平位移和信息熵过程线比较Fig.8 Comparison between the curve of horizontal displacement of the node and the information entropy curve

4 结 语

本文将信息熵理论应用于不同岩体结构流变分析，得到如下结论：

（1）对比分析了分别采用单元弹性应变能和单元总应变能计算的信息熵，认为以单元弹性应变能计算的信息熵可以较好地反映结构从无序到有序的演变过程。

（2）广义开尔文模型的黏弹性应变可逆，结构没有能量耗散，所以采用广义开尔文模型进行黏弹性问题分析时，无论采用弹性应变能计算信息熵，还是采用弹性应变能和黏性应变能之和计算信息熵，信息熵基本不变。

（3）将信息熵应用于不同岩体结构的加速流变分析，结果表明：结构信息熵与典型节点水平向位移具有良好的一致性，信息熵先因能量耗散而逐渐减小，结构加速流变破坏时，信息熵达到极小值。

［1］ 谢和平，冯夏庭.灾害环境下重大工程安全性的基础研究［M］.北京：科学出版社，2009.（XIE He ping，FENG Xia ting.Basic Research on the Safety of Major Projects During Disasters［M］.Beijing：Science Press，2009.（in Chinese））

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［10］丛培江，顾冲时，王 建.熵理论在分析混凝土裂缝扩展过程中的应用探讨［J］.应用基础与工程科学研究，

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（编辑：罗玉兰）

Application of Information Entropy Theory to the Failure Analysis of Accelerated Rheology of Rock Structure

HUANG Yao ying1，2，ZHENG Hong2，TIAN Bin1
（1.College of Hydraulic＆Environmental Engineering，China Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.State Key Laboratory of Geomechanics and Geotechnical Engineering，Institute of Rock and Soil Mechanics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430071，China）

Information entropy theory is used to analyze viscoelastic and viscoplastic problems.Based on the com parison of information entropy corresponding to the element’s elastic strain energy and total strain energy，it is found that the energy corresponding to irreversible rheological strain is dissipative.The information entropy calculat ed by element’s elastic strain energy can exactly reflect the development of rock structure from disorder to order.Furthermore，information entropy is applied to the failure analysis of accelerated rheology of different rock struc tures.It is shown that the information entropy iswell consistentwith the node’s displacement.Information entropy reduces gradually as energy dissipates，and then reaches theminimum value when the accelerated rheology of rock structure is destroyed.

information entropy；dissipation；accelerated rheology；destroy

TU457

A

1001－5485（2011）08－0050－05

2010 08 27

国家自然科学基金项目（50779031）；国家杰出青年基金项目（50925933）；湖北省教育厅科学技术研究项目（D20101207）

黄耀英（1977 ），男，湖南郴州人，博士，副教授，主要从事大坝安全监控和岩体流变问题研究，（电话）13997662901（电子信箱）huangyaoying＠sohu.com。