张 珂,张剑云

(电子工程学院 305教研室,安徽 合肥230037)

DOA估计[1]中的MUSIC算法具有分辨力高、性能稳定以及精度高的特点，但是计算量较大[2]。其计算量主要由三部分构成：(1)利用多次快拍数据构成自相关阵R；(2)对R进行特征分解；(3)进行空域搜索。其中第三部分的计算量直接由空域搜索的范围与搜索精度决定，如果能设法缩小搜索范围就可以减小计算量。参考文献[3]提出了在FFT粗估计DOA的基础上进行局域空间谱峰搜索的方法，即如果空间FFT得出的入射角测量值为， 则后续MUSIC法的搜索范围就是参考文献 [4]提出了利用FFT多波束算法对信号预处理，将MUSIC的搜索范围由整个空域划分到一系列小的区域中进行。两种方法都涉及利用空间FFT缩小MUSIC的搜索范围,前者确定搜索范围的方法过于简单，缺少必要的推导与分析，不适应均匀线阵角度分辨力的分布特点；后者的多波束理论并未明确给出一种快速确定元均匀线阵空域划分的有效方法。

本文在深入分析空间FFT的基础上，对其空间频率输出项的排序进行了修改，使各输出项对应的空域角度更符合人的思维习惯；提出了空域分割的概念，利用L点空间FFT的空间频率输出项中只有L项这一特点,将-90°～+90°的空域分割成不均匀的 L个角度范围；定义了入射角测量值对应的最小模糊范围SCHimin,并进一步提出了用于确定模糊范围的相邻值平均法。此方法适合均匀线阵角度分辨力的分布特点，容易实现且计算量较小。在实际应用中可将对应的SCH作为后续MUSIC法的搜索范围，也就是本文所提出的DS-MUSIC法。理论研究和仿真实验均表明，在阵元数一定的情况下，该算法可得到比空间FFT算法更高的分辨率以及比MUSIC算法更快的速度。在信源数已知时，其估计性能要优于经典MUSIC算法。

1 空间FFT

对于有限长时域离散信号的离散傅里叶变换(DFT)或FFT而言，如果输入序列的样点数为L，则输出序列的频率点数也是L。若采样频率为fs，这L个输出项对应的频率[5]为：

也就是说，L点DFT的结果只能显示L个频率点处的振幅与相位，其余频率处不能直接显示，但可以通过输出的L个频率点去估计或分析。将此理论运用到空间FFT[6]中。L元均匀线阵(不妨假设L为偶数)，阵元间距为 d，p个波长为 λ的远场窄带信号 si(i=0,1,2,…,p)入射到该阵列，入射方向与阵列法线夹角定义为入射角度φi(i=0,1,2,…,p)，则 t时刻第 k个阵元接收到的信号 yk(t)(k=0,1,…,L-1)可以用矢量形式表示为：

(2)式中 n(t)为阵列的 L维高斯白噪声数据矢量，A为空间阵列的L×P维流型矩阵，且

对 t时刻一次快拍的数据 yk(t)(k=0,2,…,L-1)进行FFT变换：

对 Y0(i)重新排序：当 i=0,1,…,L/2-1时，Y(i)=Y0(i)；当 i=L/2,L/2+1,…,L-1 时，Y(i-L)=Y0(i)

Y(i)为重新排序后的空间FFT的输出项，即空间频率，共有 L项，其中 i=-L/2,-L/2+1,…,L/2-1。

第i个输出项Y(i)所对应的入射角度为：

注意式(5)重新排序后的 Y(i)与式(6)中 i的取值是i=-L/2,-L/2+1,…,L/2-1，而不是经典 FFT(即式(1))中的 i=0,1,2,…,L-1。

这样处理的目的是为了使第i个输出项Y(i)所对应的入射角度可以在-90°～90°的角度范围中从小到大依次取值，否则取值次序将不符合人的思维习惯，最两侧的角度将由最中间的两个相邻Y(i)所 对 应[4]。

2 空域分割理论

2.1 空间FFT测量值与实际值的关系

从式(5)与式(6)可得：空间 FFT的结果只能显示 L个方位角处的振幅与相位，其余方位不能直接显示，但可以通过输出的L个方位点去估计或分析。

图1显示了当阵元数为16，SNR=10 dB，只有一个信源，DOA为 φ，阵元间距与信号波长之比 d/λ=0.5，φ=20°时采用一次快拍FFT的输出结果，Y(3)的振幅最大，根据式(6)，其对应的入射角估计值=22.02°。

图1 φ=20°的空间 FFT输出结果

若以空间FFT输出项中最大值Ymax对应的入射角度作为估计值，图2显示了实际入射角度φ在[-90°～+90°]范围内取值时估计值与其对应的关系(根据式(6)，无法取到 90°，这样做图只是为了保持图形的对称型)。如图2 所示，不计±90°，共有 15 种可能的取值，随着φ从小到大取值，的曲线呈阶梯状变化，这样的“阶梯”共有15级，分别代表了的15种可能的取值。阶梯的宽度与高度的变化趋势是：越接近0°越小，即角度分辨力越高；越远离0°越大，即角度分辨力越低，反映了均匀线阵的分辨力随空域的分布。

图2 φ的对应关系曲线图

2.2 L点空间FFT的空域分割

表1给出了16阵元均匀线阵,信噪比为10 dB，单信源时，计算出的信号到达角的实际值φ与估计值的对应关系。可以看出，除±90°以外，可能的取值只有 15种。图3将这种对应关系图形化，其中，16点的空间FFT将-90°～90°的空域分割成不均匀的 16个角度范围(不计最接近90°的部分)，当φ来自其中之一时，例如φ∈(3.59°～10.81°),根据空间 FFT 得出的测量值一定也只能为 7.18°。

表1 16点空间 FFT中φ与的对应关系 (°)

表1 16点空间 FFT中φ与的对应关系 (°)

φ -69.64～-54.35 -54.35～-43.44 -43.44～-34.23 -61.05 -48.59 -38.68 φ -34.23～-25.95 -25.95～-18.22 -18.22～-10.81 -30 -22.02 -14.48 φ -10.81～-3.59 -3.59～3.59 3.59～10.81 -7.18 0 7.18 φ 10.81～18.22 18.22～25.95 25.95～34.23 14.48 22.02 30 φ 34.23～43.44 43.44～54.35 54.35～69.64 38.68 48.59 61.05

图3 16点空间FFT空域分割图

也就是说,当阵元数L确定后，空间FFT法的测量值除±90°以外可能的L-1种取值也随之确定(假设L为偶数)，根据式(6)，第i个空间频率输出项对应的测量值为i， 空间 FFT 将-90°～+90°的空域所分割成 L 个角度范围也就随之确定。

2.3 测量值对应的模糊范围

当φi=φimin时，Y(i)=Y(i-1)=Ymax；当 φ=φimax时，Y(i)=Y(i+1)=Ymax。即：如果信号恰好来自最小模糊范围的边界值，则空间FFT的输出项中将出现相邻两个相同的最大值。

考虑到 φimin、φimax需要通过大量的计算才能确定，且当φi恰好为SCHimin的上下界时测量值可能随机出现相邻两i之一，因此实际选择模糊范围SCH时应使相邻i对应的SCHi互相有所交叠，在这里提出一种可以快速简便确定SCH的方法——相邻值平均法。

表2 i 对应的 SCHimin 与 SCHi (°)

表2 i 对应的 SCHimin 与 SCHi (°)

i -61.05 -48.59 -38.68 SCHimin -69.64～-54.35 -54.35～-43.44 -43.44～-34.23 SCHi -76～-54 -55～-43 -44～-34 i -30 -22.02 -14.48 SCHimin -34.23～-25.95 -25.95～-18.22 -18.22～-10.81 SCHi -35～-26 -27～-18 -19～-10 i -7.18 0 7.18 SCHimin -10.81～-3.59 -3.59～3.59 3.59～10.81 SCHi -11～-3 -4～4 3～11 i 14.48 22.02 30 SCHimin 10.81～18.22 18.22～25.95 25.95～34.23 SCHi 10～19 18～27 26～35 i 38.68 48.59 61.05 SCHimin 34.23～43.44 43.44～54.35 54.35～69.64 SCHi 34～44 43～55 54～76

3 空域分割—MUSIC算法

3.1 算法实现步骤

(1)当阵元数L确定后，空间FFT法的测量值可能的 L-1种取值i(i=-L/2+1,…,L/2-1)可由 式(6)确 定 ，并且能够由式(7)得到各i对应的模糊范围 SCHi；

(2)在信源数M确定的情况下对于一次快拍数据yk(t)(k=0,2,…,L-1)根据式(5)与式(6)进行计算，以空间FFT输出项中最大的M项对应的M个入射角度作为估计值。为提高空间FFT的估计性能，可对N次快拍的N组数据做自相关阵平滑 FFT法(SSS-FFT)[7]，以得到更准确更稳定的估计结果；

(4)将SCH作为MUSIC法的搜索范围进行搜索。

3.2 算法复杂度分析

为比较经典MUSIC法与DS-MUSIC法的算法复杂度，需要比较空间FFT运算所带来的运算量增加与MUSIC算法谱峰搜索运算量减少之间的关系[4]。以一个信源的情况为例，对于16阵元均匀线阵N次快拍，空域搜索精度为 1°，如果采用 DS-MUSIC法，搜索范围将由经典 MUSIC 法的[-90°～90°]大大缩小，根据表2，最多只需在[54°～76°]范围内搜索，搜索点数由 181降至 23，对应减小的计算量[4]为：(181-23)(162+16)=37 920。由于MUSIC算法已经进行了自相关阵的运算，所以同等条件下进行SSS-FFT的运算量[7]近似为：因此DS-MUSIC法相比经典MUSIC法在计算量上要减少37 920-512=37 408，直观地说就是：前者由于空间 FFT而增加的计算量远远比不上空域分割带来的搜索范围缩小而减少的计算量多。

4 仿真分析

仿真条件如下:两个信源分别从 30°与-30°入射到间距为λ/2的均匀线阵，阵元数为16，快拍数为100。图4给出了经典MUSIC法与DS-MUSIC法在SNR=-5 dB时空间谱曲线的比较。如图4所示，经典MUSIC的空域搜索范围为[-90°～90°],而 DS-MUSIC 只需在=30°所对应的 SCH=[26°,35°]与=-30°所对应的SCH=[-35°,-26°]范围内搜索。

图4 经典MUSIC与DS—MUSIC的谱曲线

同等条件下,图5给出了两种算法在SNR∈[-10 dB,20 dB]时DOA成功概率的比较。如图5所示,当 SNR≥-10 dB时,两种算法的成功概率几乎相当；当SNR＜-10 dB时，DS-MUSIC的估计性能要优于经典MUSIC，这是因为前者使用SSS-FFT算法进行空域分割，该算法的抗噪声性能远远优于参考文献[4]使用的单次快拍 FFT[7]，为后续MUSIC的空域搜索限定了一个较为准确的模糊范围SCH,使得其余范围可能出现的伪峰不会影响算法性能。因此DS-MUSIC算法的性能要优于参考文献[4]提出的多波束-MUSIC算法，在处理信源数已知的DOA估计时要优于经典MUSIC算法。

图5 经典MUSIC与DS—MUSIC的成功概率

理论分析和仿真实验表明，相对于经典MUSIC，在同样精度的情况下，该算法由于缩小了谱峰搜索范围而降低了运算量；同时由于采用SSS-FFT算法为后续MUSIC的空域搜索限定了一个较为准确的模糊范围而提高了抗噪声性能。此方法可以在较短的时间内获得良好的DOA估计值，从而为工程应用提供了一种性能良好的快速DOA估计算法。

[1]PUSKA H,SAARN ISAARIH,INATTIJ.Serial search code acquisition using an art antennas with single correlator or Matched Filter[J].IEEE Trans.on Communications,2008,56(2):299-307.

[2]YANG L,ATTAUAH S,MATHEW G.Stable noise subspace estimation algorithm suitable for vlsi implementation[C].IEEE Workshop on Signal Processing System,2007:579-583

[3]齐崇英,张永顺,张明智.信号到达角的快速估计算法研究[J].系统工程与电子技术,2004,26(10):1364-1366.

[4]计征宇,杨向华.基于FFT与 MUSIC的改进DOA估计算法[J].系统仿真学报,2010,22(2):487-490.

[5](美)Richard G.Lyons著.数字信号处理(第二版)[M].朱光明,等译.北京:机械工业出版社,2006:31-33.

[6]于红旗,刘剑，黄知涛，等.空间频率在窄带DOA估计中的应用[J].电子信息对抗技术,2007，22(2):27-31.

[7]张珂,张剑云.一种新颖的快速 DOA算法[J].航天电子对抗,2010，26(5):50-53.