李 勇

混凝土材料性能的研究对于充分发挥材料强度、提高工程结构的安全性都具有重要意义，其弹性模量是结构分析和设计中的重要参数，国内外学者提出了多种模型来预测弹性模量与混凝土细观结构组分及相应力学性能的关系，以达到对混凝土材料进行优化设计的最终目的［1］。将细观力学方法引入混凝土研究，既丰富了传统研究以试验为主的模式，也提供了进一步考虑混凝土内部力学行为和破坏机理的新途径。在预测混凝土性能时，视其为骨料和水泥砂浆基体组成的二相复合材料，采用ANSYS进行有限元分析，最后用细观力学中的稀疏分布模型、Mori-Tanaka法、自洽法、广义自洽法和微分法对数值混凝土模型的有效弹性模量进行预测。本文通过细观力学方法预测结果与有限元数值试验比较，研究了各细观理论方法预测混凝土有效模量的适用性。

1 细观力学方法介绍

求解复合材料有效性能的方法和模型很多。这些模型可以归结为如下几类:1)以复合材料代表体元为基础的直接方法，它通过解析和数值方法求解细现场，然后再求出有效应力(应变)场，根据定义求出有效性能。2)以单一骨料理论为基础的各种近似模型，包括自洽模型、广义自洽模型、Mori-Tanaka方法、微分法等解析方法，以及利用上述模型构造的各种数值方法，如自洽有限元法，M-T有限元法等，这类方法以其模型简单和概念明确而被广泛应用。3)以变分原理为基础的定界法，这类方法给出有效性能的极值(上限和下限)。

1)稀疏分布模型。这种方法认为每个骨料在均匀基体中，不考虑其他骨料的影响。由于不考虑骨料之间的相互影响，则代表体积单元的有效性能可看作单个骨料情况时的简单叠加，每个骨料的平均应力可通过嵌在含基体材料的无界体里的单个骨料的均布应力近似得到。对于颗粒增强的二相复合材料，即对由骨料和基体组成的二相复合材料［2］。

2)Mori-Tanaka方法。Mori和Tanaka在研究弥散硬化材料的加工硬化时，提出了求解材料内部平均应力的背应力方法［3］，即Mori-Tanaka方法，也称为有效场方法。此方法设复合材料代表体积单元里有很多骨料，在建立局部化关系时，将每个骨料嵌于一个无限大的基体之中，而基体所受远场应力不是外部施加的应变ε0，而是基体的平均应变εM。因为每个骨料都被基体所包围，通过基体的平均应变εM而与邻近的骨料和基体产生相互作用，就可合理地反映骨料之间的相互作用。

3)自洽法。自洽法也叫等效介质方法，先后由 Hershey［4］，Kroner［5］提出用来研究多晶体材料的弹性性能，Hill［6］和 Budiansky［7］进一步将其发展应用于复合材料的有效弹性模量的预测。为考虑其他骨料的影响，自洽法假定将骨料单独嵌于弹性性能未知的等效介质之中，且骨料周围等效介质的弹性常数恰好就是复合材料的弹性常数。

4)广义自洽法。为更好地考虑基体与骨料之间的相互作用，Christensen和Lo［8］采用基于三相模型的广义自洽方法来计算骨料的平均应变。三相模型或广义自洽模型是复合球体模型的推广。三相模型假定半径为a的颗粒被厚度为b－a的基体外壳包围，颗粒材料的体积比为c2=(a/b)2。此外，与复合球体模型假定复合球体充满整个复合材料代表性体积单元不同的是，三相模型假定复合球体镶嵌在一个性质待定的有效介质之中。该法与自洽法非常相似，称为广义自洽法，但在三相模型中，每一个颗粒都被真实的基体材料包围;而在自洽法中，颗粒与有效介质而不是与基体材料接触。

2 混凝土随机骨料模型

混凝土骨料分为细骨料和粗骨料。骨料按粒径分为小石、中石、大石、特大石，它们依次称为一、二、三、四级配，当混凝土配比中包含这4种级配时，称为全级配混凝土。通常三级配骨料包含大石、中石、小石3个级配骨料，小于5mm的骨料按砂浆计。为使混凝土产生最优化的结构密度，常采用富勒曲线来确定各粒径颗粒比例。富勒曲线是骨料在混凝土中的空间曲线，基于概率统计，Walraven将富勒级配曲线转化为试件内截面具有骨料直径D＜D0的内截圆出现的概率［9］。随着计算机运行速度的提高，用有限元分析混凝土力学性能越来越受到重视［10］，而采用这种方法的前提就是建立数值混凝土模型。根据概率方法计算各粒径骨料的颗粒数，并按蒙特卡罗方法生成随机骨料模型，见图1。

图1 二相混凝土随机骨料数值模型

在有限元商业软件ANSYS中，对试件施加均匀应力边界条件，应用顶面位移法求出复合体有效弹性模量。取砂浆和骨料的泊松比均为0.25，砂浆的弹性模量E0=1，图2为骨料弹性模量E1=10时，混凝土有效弹性模量随骨料体积分数变化的有限元结果与理论结果的比较，以及骨料体积分数为20%时，混凝土有效弹性模量随骨料弹性模量增长的变化。从图2中可以看出稀疏分布仅适用于夹杂体积比较小的情况，所以预测结果不正确，而其他各种理论方法以及FEM数值方法均能够正确预测高夹杂体积比复合材料的有效性质。

图2 各细观力学方法预测结果与有限元数值试验结果比较

3 结语

本文计算了细观力学预测二相复合材料的有效模量的多种方法和有限元方法的比较，比较了各种方法的适用性问题，并得出了一些结论，但是这些结论都是建立在一系列假定的基础上的，考虑程度的精确性还需要进一步讨论，因此，真正将细观力学方法应用于混凝土材料领域，需做的工作还很多。

［1］ 马怀发，陈厚群，黎保琨.混凝土细观力学研究进展及评述［J］.中国水利水电科学研究院学报，2004，2(2):124-130.

［2］ Li Shaofan.Micromechanics Graduate Course Notes(CE236)［M］.Berkeley:Department of Civil and Environmental Engineering，University of California，2003.

［3］ Benveniste，Y.A New Approach to the Application of Mori-Tanaka’s Theory in Composite Materials［J］.Mechanics of Materials，1987(6):147-157.

［4］ Hershey A V.The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic crystals［J］.Appl.Mech，2007(21):236-241.

［5］ Kroner E.Berechnung der elastischen Konstanten des Vielkristalls aus den Konstanten des Einkristalls［J］.Z Phys，1958(151):504-518.

［6］ Hill R.Theory of mechanics of fiber-strengthened materials(Ⅲ).Self-consistent model［J］.J Mech.PhysSolids，1965(13):189-198.

［7］ Budiansky B.On the elastic module of some heterogeneous materials［J］.J Mech.Phys Solids，1965，13(4):223-227.

［8］ R M Christensen，K H Lo.Solutions for effective shear properties in three sphere and cylinder models［J］.J Mech Phys Solids，1979(27):315-330.

［9］ 高政国，刘光廷.二维混凝土随机模型研究［J］.清华大学学报(自然科学版)，2003，43(5):710-714.

［10］ 杜成斌，孙立国.任意形状混凝土骨料的数值模拟及其应用［J］.水利学报，2006，37(6):662-667.