袁志钢，牛 ，王 坚，潘 焱

（1.解放军理工大学通信工程学院，南京210007；2.总参陆航部驻成都地区军事代表室，成都610036）

基于图形链的冗余多指标集比较删余缩减算法✴

袁志钢1，牛2，王 坚2，潘 焱1

（1.解放军理工大学通信工程学院，南京210007；2.总参陆航部驻成都地区军事代表室，成都610036）

在指标权重及冗余指标检测的基础上，采用链状结构对相关指标集合进行图形描述，提出了基于图形链的冗余指标比较缩减算法。该方法进一步考虑了指标冗余的非传递性，并有效发挥了指标权重在综合评价中的作用。实验结果表明，该方法可显著改善删余评价方法的公正性，避免了评价指标的过度删余，对有效完成评价指标的鉴别与客观筛选有着重要意义。

多指标综合评价；指标冗余；删余处理；图形链

1 引言

多指标综合评价在实际工程设计与应用中发挥着十分重要的作用［1］。较之形式各样的评价方法［2-4］，评价指标则构成了整个评价工作的基础。然而，由于评价对象的多元性与复杂性，实际中用以完成评价的指标集不免会冗余。在付出复杂度的同时，这些冗余指标将直接影响指标权重，并导致“伪裁判”问题的出现［5］，致使评价结果有失公正，因此对于冗余指标的鉴别与删余处理就显得至关重要。

就目前该问题的处理方法而言，文献［5］在揭示指标冗余及其影响的基础上，给出了直接删余算法，其在冗余指标鉴别的基础上一次性完成指标删余处理。该算法实现简便，但其处理过程可能伴有大量非相关的指标被删除，过度的删余处理又将致使评价工作变得片面，同样会对综合评价造成不利影响。

针对上述问题，本文在指标权重及冗余指标检测的基础上，采用链状结构对相关指标集合进行图形描述，提出了基于图形链的冗余指标比较缩减算法。该算法进一步考虑了指标冗余的非传递性以及指标权重的差异信息，并将之应用于指标删余的筛选处理，有效发挥了指标权重在指标各异性及工程综合评价的意义和作用。评价结果表明：本文所提出的基于图形链的比较删余缩减算法可有效避免评价指标的过度删余，显著改善删余评价方法的公正性，有效降低了实际评价工作的复杂度。

2 多指标综合评价及其分析模型

设评价指标共有n个，其构成的集合称为指标集Φ。评价对象共计m个，每个评价对象有n个评价指标与之对应，所有这些对象和其对应的指标值就构成了原始评价矩阵U=。指标j所对应的权重系数记为θj＞0，并有∑θj=1。

为简化表述，这里认为评价矩阵U是经过等测度处理的［1］。于是评价对象i的综合评测结果为

3 多指标评价中的指标冗余问题

针对指标冗余，文献［5］引入了“同态指标”的概念，其定义如下：

定义1：对于指标j，k∈Φ，若关系j↔k在样本集M上几乎处处成立，则称指标k是关于指标j的同态指标，简称“同态”（Homostasis），并记为j→ a.e.k。

下面给出其判定定理，用以完成冗余指标的模糊评价与检测。

凡满足式（2）的指标即为同态指标，对于指标集Φ，则称该指标集存在冗余。

4 冗余指标的检测与删减算法

4．1 直接删余处理算法

直接删余算法［5］主要包括“冗余检测”和“删余处理”两个基本环节，其中，冗余检测主要依据“判定定理1”采用模糊方法予以完成（详见Step I-1至Step I-2）。

Step I-1：计算各指标间的同态隶属度。

设待检测指标j，k，并依据式（2）计算指标间具有相同变化的样本个数，这里记为ξk和ξj：

式中，（·）表示满足该式约束条件的变量l的个数。利用式（3），即可得到指标j，k的同态隶属度：

式中，min（·）表示取最小值。

Step I-2：同态指标的阈值与判决。

若隶属度A（k，j）大于或等于相关阈值υ0（≥0.70），则j、k为同态指标，直至遍历整个指标集完成对所有指标的检测。

若存在同态指标（即指标冗余），则可得到冗余指标集Υ：

Step I-3：基于权重排序的直接消除策略。

经过步骤Step I-2的处理后，若冗余指标集Υ非空，接下来就要完成删余工作。对于“权值优先策略”，将指标集Υ按权重由大到小进行排序，并从序列中的第一个指标（权重最大）开始，若发现有与之同态的次重要指标存在，则将该指标删除；若否，则转至下一指标，直至遍历整个指标集将冗余指标全部删除为止。

4．2 新的基于图形链的比较删余算法

基于指标权重优先的直接删余算法尽管实现简单，但该方法只注重了权重指标的保留，可能造成那些与之相关却彼此不相关的次重要评价指标被删除，从而导致指标各异性的下降，这同样会对综合评价产生不利影响。

本文将采用链式图形结构用以描述指标集Υ的相关性及其删余过程。图1给出了指标集Υ的链式结构，其中相关的指标对之间用实线相连接，这些指标首尾连接即构成一个相关拓扑。图中，指标i与l均与指标j具有一定相关性，而指标i、l之间则相互独立。就“删余算法1”而言，若指标j权重最高，而指标i与l稍次之，则直接删余处理将保留指标j而将指标i、l删除。而事实上，考虑到指标i与l相互独立且权重与之接近，更为理想的选择是将指标j删除，从而使评价指标的多元性尽可能得以保持。

为有效克服指标相关性的影响，并最大限度保留重要指标和指标集的多样性，本文结合考虑指标权重及同态信息，并将之联合用于完成冗余指标的比较筛选处理，提出了基于图形链的比较删余算法。现以图1所示的具有链状相关拓扑结构的冗余指标集合为例，具体介绍删余处理算法的基本步骤：

Step II-1：以指标链上前后相互关联的3个指标作为一组，计算分组内指标权重的累加值，并以此作为该分组重要性的评价值。

式中，θ（·）为指标熵权，γk表示冗余指标链Υ上的第k个指标，k为序号。

Step II-3：判别相关指标分组的裁剪目标，并对删除指标进行登记。

在裁剪目标的具体判断上，需要借助同一量度以衡量指标权重与多元性在判别中各自的重要性。本文借助隶属度函数来量化指标的差异性，并将之作为修正因子，对指标权重进行修正。

式中，γl、γl+2为可能被一并删除的指标，现将之视为整体进行处理，其权重修改如下：

该式意义在于指标差异性使得对象评判能够从中获得更多的额外信息。显然，对于独立指标，β（γl，γl+2）=1，此时指标集权重+θ（γl+2）；而对于同向增长变量，由γl+2不能得到更多有别于γl的评价信息，此时β（γl，γl+2）=0，对应的集合权重为

而指标γl+1单独作为一个集合，权重大小不变，并与子集(γl，γl+2)做权重比较，权重小的则判定为删除对象。

Step II-4：对剩余子链信息进行更新，判断是否存在关联指标，若存在则转入Step I-1，否则转入Step II-5。

Step II-5：根据登记的删除指标，完成评价指标集Φ和等测度矩阵的删余处理，重新计算指标权重。

5 评价实例

下面以证券评价为例，对基于相关指标链的比较删余处理算法的实际评价性能进行检验。评价指标有4项，即：收益率（u1）、损失率（u2）、证券价格（u3）和行业景气度（u4），表1给出了5种待评价证券的统计资料［4］。

在各属性中，u1、u4为效益型属性，u2、u3为成本型属性，因此还需将原始的样本指标属性集进行规范化，得到等测度矩阵U′：

依据等测度U′，采用客观权重计算法确定指标熵权θi（i=1，2，3，4），并依据式（4）计算指标间的同态隶属度，其结果分别如下：

从上面结果可以看出，收益率u1权重最大，并且与证券价格u3、行业景气度u4均具有强相关性，而证券价格u3与行业景气度u4的相关性则较弱。损失率u2则相对独立，这一分析结果与实际情况相符合。设定阈值υ0=0．70，此时对应的指标集相关拓扑如图2所示。

为便于观察，图中依据指标权重大小对指标由1至4进行编号。接下来将u1、u3和u4作为裁剪分组，判定删除指标。根据式（6）计算指标分组的累加权重，并与指标u1进行权重比较。显然。因此，此处将指标u1删除，而保留u3和u4，这与实际中期望的结果是相吻合的。

图3为删余处理前后TOPSIS评价［1］结果。其中，图3（a）中的圈直线为直接删余算法所得的评价结果，方案优劣排序为1-2-3-5-4，其评测结果总体上与原有TOPSIS评测结果有较大差异。图3（b）给出了基于图形链的冗余指标比较缩减算法得出的评价结果（三角直线），如图，其在完成指标删余、降低复杂度的同时，评价结果与原TOPSIS多指标决策基本一致。

6 结论

冗余指标的检测与删除是多指标评价中十分重要的环节。针对直接删余算法在指标筛选合理性的不足和由此导致的过度删余问题，本文采用链状结构对相关指标集合进行图形描述，研究并提出了基于图形链的冗余指标比较缩减算法。评价结果表明：该方法可有效将指标权重、相关性等外信息综合应用于完成删余处理，有效兼顾了指标权重与指标各异性在工程综合评价中的作用，显著改善了删余评价算法的公正性，并有效降低评价的复杂度。该算法及结论具有一般性，可直接用于指导或解决其它工程评价问题。

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YUAN Zhi-gang was born in Shijiazhuang，Heibei Province，in 1980.He received the M.S.degree and the Ph.D.degree from PLA University of Science and Technology in 2005 and 2008，respectively.He is now a lecturer.His research concerns high-rate wireless transmissions.

Email：yzhigang-cn＠163.com

NIU Ben was born in Yangzhou，Jiangsu Province，in 1980.He received the M.S.degree from PLA University of Science and Technology in 2005.He is now an engineer.His research concerns wireless data transmission service.

Email：290236096＠163.com

Graphic Chain-based Method for Selective Redundancy Elimination in Multi-attribute Decision

YUAN Zhi-gang1，NIU Ben2，WANG Jian2，PAN Yan1
（1.Institute of Communications Engineering，PLA University of Science and Technology，Nanjing 210007，China；2.Military Delegation Office for Chengdu Region，Army Aviation Department of General Staff，Chengdu 610036，China）

A novel selective redundancy-elimination method is proposed with extra-information like weight values，interrelations taken account for measurement.During the process，the graphic chain is used for description of the correlated indexes sets.The results demonstrate obvious performance enhancements yielded by the proposed method，and indicate its significance in decision justness and rational redundancy elimination.

multi-attribute decision；indexes redundancy；redundancy elimination；graphic chain

N945

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.06.025

袁志钢（1980—），男，河北石家庄人，分别于2005年和2008年获解放军理工大学硕士和博士学位，现为讲师，主要研究方向为高速无线数据传输与系统设计；

1001-893X（2011）06-0112-04

2011-03-22；

2011-05-09