石 荣,胡来招

(电子信息控制重点实验室,成都 610036)

1 引 言

H信号由文献[1]首次公开提出,该信号是类似于噪声的信号,其良好的特性使得其在许多领域具有较好的应用前景。利用H信号来携带信息可以实现数据的隐蔽传输,利用H信号探测目标可以具备良好的低截获概率特性。由H信号的定义可知,H信号既包括连续型,也包括离散型,由于工程实践中数字信号处理手段的普及,经过数字化采样后的离散H信号使用更加广泛,所以本文也以离散H信号为研究对象。离散H信号的构造通常是按照其在频率域中的定义,通过信号频域相位随机化后,进行傅里叶逆变换来得到时域中的离散H信号。按照这种方法构造出的信号通常是时域中的多值化信号,一方面增加了其在某些应用领域中时域硬件处理的复杂性,另一方面在信号发射过程中会出现严重的峰均比问题,发射机的工作点必须回退以保证信号的放大处于发射机的线性区。本文以m序列为基础,利用其互相关函数的单峰性,直接从时域进行离散H信号的合成,按照这种方法构造出的离散H信号在时域只取两个值,这类离散H信号的时域硬件处理复杂度可以得到很大的简化,而且信号发射过程的峰均比问题也得到基本解决,同时对此类离散H信号的相关特性从理论上给予了证明。本文的分析也从另一个角度展现了H信号、m序列等随机信号之间的紧密联系,这对于进一步开展H信号的理论研究,理解H信号的本质内涵和工程应用具有重要的参考意义。

2 离散H信号及其频域构造

根据文献[1],信号的自相关只有一个位置在零的峰,其傅里叶变换的幅度是一个常数,而信号频谱的相位是随机均匀分布的,其特征非常接近于一个白噪声,这样的信号就称为H信号。由此可知,H信号是一个在统计意义上定义的信号种类,一个具体信号实现可以看成是H信号中的一个信号样本。离散H信号具有如下特性:

(1)对一个H信号样本进行傅里叶变换,其频谱幅度是一个常数,频谱的相位在360°范围内均匀分布;

(2)如果对该信号样本进行周期性扩展,其自相关函数在一个周期内只有一个非零点,相关没有任何栅瓣;

(3)两个独立的H信号之间的互相关函数与信号本身具有近似的规律,即互相关函数的频谱是平坦的,在时间上是一个平稳随机量,没有高耸的峰值。

根据上述信号特性,在同时使用多个H信号时,它们彼此之间可以认为是一定意义上接近正交的,基本没有相互干扰。根据H信号的定义来合成H信号是最直接的信号构造方法,该方法以频域为基础,所以又称为H信号的频域构造法。

首先确定信号长度L,然后根据同余法生成在0～360范围内均匀分布的L个随机数作为频域相位值,递推公式如下:

式中,a、b为递推参数,这样只要确定了随机相位起始值 θ1,便可以通过上式得到0°～360°范围内均匀分布的相位序列,在此基础上可得到H信号的频域表达式Hf如下:

式中,ξ是幅度调节参数,对Hf进行傅里叶逆变换,将最终得到H信号的时域表达式为

显然,一般情况下,Ht是一个长度为L的复数值时间序列。如果要得到实数值的H信号,需要对 Hf附加一个限制条件使得θi=360-θL+1-i,即频域序列具有共额对称特性,这样经过傅里叶逆变换之后的Ht便是一个长度为L的实数值时间序列。

3 利用m序列构造时域离散H信号

H信号是一大类信号,通常情况下按照其定义从频域构造后经傅里叶逆变换得到。但是H信号中有一个特殊子类,这类信号可以从时域来直接构造,其构造的基础是利用m序列来生成。m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称,带线性反馈逻辑的寄存器设定初始状态后,在时钟的触发下通过移位与模2加反馈逻辑,将生成一个周期性的0/1序列,序列的周期与线性反馈寄存器的特征多项式密切相关,一个产生m序列的 n级移位寄存器,其特征多项式一定是n次的本原多项式F(x),即满足如下条件:F(x)是既约的,即不能再分解因式;F(x)可整除xm+1,其中m=2n-1;F(x)不能整除 xq+1,其中q

利用m序列来直接构造H信号的步骤如下:

(1)确定信号的长度L,且满足L=2n-1;

(2)利用次数为n的本原多项式,得到长度为L的m序列Sm,Sm是一个0/1序列;

(3)对序列Sm进行如下线性运算,即可得到长度为L的H信号HL,t:

式中,d是幅度调节参数,其中的每一离散信号样点值

由此构造的离散H信号只取一正一负两个值,而这两个值的绝对值随着信号长度的增加差别越来越小,这样在信号发射过程中发射机基本上可以处于满功率工作状态,不会因为信号幅度的多值性而将工作点大幅度回退,所以基本上解决了信号的峰均比问题。

下面以一个实例来进行说明。取要构造的H信号序列长度为1023,因1023=210-1,所以选取次数为10的本原多项式x10+x3+1来生成m序列,然后按照式(3)即可得到长度为1023的H信号H1023,t,该信号的时域波形、周期自相关函数、频域幅值、频域相位分别如图1～4所示。

图1 H1023,t信号的时域波形图Fig.1 Waveform of H1023,tin time domain

图2 H1023,t信号的周期性自相关图Fig.2 Periodic self-correlation of H1023,t

图3 H1023,t信号的频域幅值图Fig.3 Amplitude of H1023,tin frequency domain

图4 H1023,t信号的频域相位图Fig.4 Phase of H1023,tin frequency domain

4 该类离散H信号的主要特性

按照上述方法构造出的时域信号序列HL,t具有如下的主要特征:

(1)性质1:信号序列HL,t的周期性自相关函数rxx(k)具有冲激信号特征,只有一个位置在零的峰,且满足:

将式(3)代入上式化简,立即可得 rxx(0)=d2·2n。当 k≠0时,

其中 i′=(k+i)mod(2n-1),将式(3)代入上式化简可得:

实际上,Ssum1表示m序列Sm映射为+1/-1序列后的非零自相关函数,根据m序列的性质Ssum1=-1,由于一个m序列Sm循环移位后仍然为m序列,且一个长度为2n-1的m序列自身求和为,这样

于是,根据上述结果可得:

(2)性质2:信号序列HL,t是一个时域二值信号,即在时域上只取一正一负两个值,且正值的数目比负值的数目多1。

证明:根据式(3),信号序列HL,t是由m序列Sm线性变换后生成,其中的m序列Sm只取0和1两个值,经过线性变换仍然取两个值,其中m序列中的0变换为H信号序列中的负值序列中的1变换为H信号序列中的正值。根据m序列的性质即序列中1的数目比0的数目恰好多1个,所以对应的H信号序列中,正值的数目比负值的数目多1。

(3)性质3:信号序列HL,t具有类似于m序列的信号游程特性。

刘佳爸爸要送我回家，我死活不肯，我说我离家出走了。我像一只八爪鱼那样抓着刘佳不放，最后他带我回了家，我在他家浴室里洗头洗澡，出来时，我的头发终于有了和他一样的味道。

证明:根据式(3),信号序列 HL,t是由m序列 Sm线性变换后生成,m序列信号游程特性同样也对应映射到H信号序列中,H信号中的游程以正数游程与负数游程来进行划分,即:信号长度为2n-1的信号序列中,总共有2n—1个游程,其中长度等于l的游程占游程总数的,此外,还有一个长度为n的正数游程,一个长度为n-1的负数游程。

(4)性质 4:信号序列HL,t的傅里叶变换,其频谱幅度是一个常数,频谱的相位均匀分布。

证明:信号序列HL,t的傅里叶变换为

根据离散傅里叶的性质[5]可得:

将性质1的结果代入上式可得:

(5)性质5:信号序列HL,t的周期性移位时间序列仍然是一个H信号时间序列。

证明:根据式(3),信号序列 HL,t是由m序列 Sm线性变换后生成,m序列周期性移位后仍然为m序列,所以对应映射到H信号序列中,HL,t的周期性移位时间序列仍然是一个H信号时间序列。

5 结束语

本文以m序列为基础,从时域直接构造了一类特殊的离散H信号,给出了该类信号的构造原理与方法,并从理论上证明了该类信号所具有的五大特性。一方面展现了H信号与m序列信号相互之间的联系,提供了此类H信号分析的理论基础。另一方面,这一类具有时域二值化取值特征的离散H信号,也给实际数字化硬件平台的信号处理类应用提供了更加简洁的处理手段,这对于H信号的更加广泛的工程实际应用具有重要的参考意义。

[1]胡来招.信号与信息[M].北京:电子工业出版社,2010.HU Lai-zhao.Signal and Information[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2010.(in Chinese)

[2]Hans-Jǜrgen Zepernick,Adolf Filger.Pseudo Random Signal Processing Theory and Application[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2007.

[3]John G Proakis.Digital Communications[M].5th ed.Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2009.

[4]Paul Garrett.The Mathematics of Coding Theory[M].Beijing:China Machine Press,2005.

[5]Sanjit K Mitra.Digital Signal Processing:A Computer-Based Approach[M].2nd ed.Beijing:Tsinghua University Press,2001.