葛松华 唐亚明

(青岛科技大学数理学院 山东 青岛 266042)

1 引言

棱镜的一个主要功能是色散.直角棱镜又称为阿贝棱镜，由于它的设计特点，即利用全反射特性，棱镜的出射光线与入射光线具有恒偏向角，所以经常应用在光谱仪器中[1]. 现推导直角棱镜的偏向角与入射角的关系式，得到恒偏向角的结果，并讨论直角棱镜的最大入射角和最小入射角，用Matlab软件绘出最大入射角和最小入射角与折射率的变化曲线.

2 直角棱镜的恒偏向角

2.1 偏向角与入射角的关系式

δ=60°+i-i′

(1)

在AB面上由折射定律得

sini=nsinr

(2)

同理在BC面上有

sini′=nsinr′

(3)

图1 直角棱镜偏向角的光路图

从图1容易得到

r+r′=60°

(4)

所以有

sini′=nsinr′=nsin(60°-r)=

n(sin60°cosr-cos60°sinr)=

得

则

(5)

式(5)即为偏向角δ与入射角i之间关系的表达式.偏向角与折射率n和入射角i有关，表明全反射后会对颜色有选择，因而产生色散现象.

2.2 恒偏向角的条件

如果使

(6)

即

(7)

则偏向角

δ=60°

(8)

即为恒偏向角.这就是直角棱镜的重要特征，与常用的等边三棱镜不同，它是利用全反射特性制成的反射棱镜.反射棱镜经常应用在光谱仪器中，光源和观察系统的角度可以固定，旋转棱镜，即改变入射角，就能够方便地观察到不同波长的谱线.

式(7)可表示为

n=2sini

(9)

根据式(9)，只要测出入射角i，就可得到折射率n.用Matlab软件画出n-i曲线，如图2所示.

图2 折射率与入射角关系曲线

实验中，旋转直角棱镜，改变入射角就可以观察特定波长的光线.所以这个装置可以经过校准，使得棱镜旋转度盘读数直接用波长标定.

3 直角棱镜全反射时的最大入射角与最小入射角

3.1 最大入射角

图3 最大入射角光路图

如图3所示，当入射光线入射到AB面上，发生折射，设入射角为i，折射角为r，折射光线又以入射角r0入射到AC面上，并恰好在AC面发生全反射.

根据折射定律，在AB面上有sini=nsinr,在AC面上有nsinr0=1 ,由图3可得

∠A=r+r0=90°

(10)

则

sini=nsinr=nsin(∠A-r0)=

n(sin∠Acosr0-cos∠Asinr0)=

此时的入射角称为直角棱镜在AC面上全反射时的最大入射角，记为imax，那么

(11)

用Matlab软件画出最大入射角与折射率的变化曲线，即imax-n曲线，如图4所示.

图4 最大入射角与折射率的关系曲线

如果入射光线大于最大入射角，则光线就不能在AC面上发生全反射,即要在AC面上产生全反射现象，入射角必须小于最大入射角.最大入射角随折射率的增大而增大.当折射率n≥1.41时，最大入射角为90°，这对玻璃棱镜和可见光而言是没问题的.所以入射光线不论以多大的入射角入射，在AC面上总能发生全反射.这就是直角棱镜的设计特点.

3.2 最小入射角

下面再来讨论BC面上的全反射问题.入射光线在AB面上入射，在AC面上全反射后，再入射到BC面上.当入射角i减小时，折射角r也会减小.由于r′=60°-r，r′会增加，如果r′增大到全反射角时，即

nsinr′=sini′=1

(12)

光线就会在BC面上发生全反射，没有出射光线.此时的入射角称为最小入射角imin，由式(2)和式(12)得

sinimin=nsinr=nsin(60°-r′)=

(13)

用Matlab软件画出imin-n曲线，如图5所示.最小入射角随折射率的增大而增大.

图5 最小入射角与折射率的关系曲线

综上所述，要在BC面上得到出射光线，入射角必须小于最大入射角和大于最小入射角.实验中小于最大入射角一般是没有问题的，只要注意大于最小入射角即可.

直角棱镜是具有60°恒偏向角的棱镜，另外还有具有90°恒偏向角的Pellin-Broca棱镜等[2].分析这些棱镜的特性，对实验来说很有意义.

参考文献

1 E·赫克特，A·赞斯著.秦克诚，詹达三，林福成译. 光学(上册)(第1版).北京：高等教育出版社,1979 .252～254

2 姚启钧.光学教程(第1版). 北京：高等教育出版社，1981 .203～204