韩 诚

(盐城师范学院 数学科学学院，江苏 盐城 224001)

19世纪末20世纪初，英国爆发了一场数学教学改革的运动，人们称之为“克莱茵—贝利运动”。在这次运动中，德国数学家F.克莱茵写了《高观点下的初等数学》，“主张加强函数和微积分的教学并借此改革充实代数内容”，“另一方面则强调把解析几何纳入中学数学教学内容,并用几何变换的观点改造传统的几何”[1]。以下将利用高等数学思想方法来分析、解决初等数学的做法简称“高观点”。近年来，我国中学数学里的高等数学的含量进一步扩大，高考试卷中也加大了相应的题量与分值。然而，在我国高等数学教育专业课程所讲的高等数学与中学数学的研究对象、研究方法都有本质的不同，学生所学与毕业之后所教联系不上，“居高”不能“临下”。另外，新一轮课程改革对中学数学也提出了许多新的课题，如问题解决、数学情境的创立、数学活动的设计、开放题的教学、研究性学习等[2，3]。如何加强高等数学与初等数学之间的衔接，如何真正发挥高等数学对初等数学的指导作用，成为当前迫切要解决的任务。本文拟从“高观点”研究初等数学问题的实践意义展开讨论，以期在高等数学与初等数学之间架起一座桥梁，真正发挥高等数学对初等数学的指导作用。

1 大学数学的学习对研究初等数学至关重要

1.1 有利于疑难问题的深入研究和复杂问题的简单化

中学数学虽然较高等数学简单，但同样涉及一些数学本原的问题，这些问题要在中学数学知识体系内给出圆满的回答并不容易，往往需要根据更能反映数学本质的高等数学的观点和知识才能说清楚，以下试举几例。

例1，方程的本质是什么？

分析：在初等数学中，我们可能没办法来回答这个问题，事实上，方程就是使命题为真的真值集合。在此意义上看，矛盾方程、条件方程、恒等式三者逻辑含义完全一样，解方程也是数系扩充的原动力之一。

例2，复数无法比较大小。

分析：在初等数学课程中，只介绍了复数是无法来比较大小，并没有给出解释。然而作为初等数学研究者，我们可以借助高等知识来回答。

复数z=a+bi(a,b为实数)

(i)当b=0时，z为实数，可以比较大小；

(ii)当b≠0时，z为虚数(a=0时为纯虚数)，不能比较大小。

数学上所谓大小的定义是，在(实)数轴上右边的比左边的大。而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义。而且定义复数的大小也似乎没有什么意义。事实上，我们可以利用复变函数论的知识来解释清楚为什么不能在复数域上定义大小关系，同时也让我们产生新的思考：究竟该如何定义一个数集的序关系呢？带着这个疑问，我们才能进一步地探究更专业的数学知识。由此可见，对初等数学问题的追问恰恰是对高等数学产生兴趣的动力所在。

例3，求和问题。

求和问题是初等数学中较为常见的问题，解题时，如能结合微分法，能使这类问题简化。

证明[7]

(1)

(2)

用初等方法证明如下：

左边

=右边

这里

是已知的，用高等数学分析证明如下：

仔细观察左边，它与

(3)

取x=1即得

即(1)式成立；取x=-1时,(2)式成立。

这一问题还可进一步地追问：什么样的数列求和可以考虑用逐项求导的办法？要回答这一问题，就必须利用微积分里的函数项级数的相关知识。这也让我们看出，每个简单初等数学问题的背后都有着复杂的高等数学背景。

1.2 有利于数学思想方法的挖掘与应用

数学思想方法与数学基础知识是数学的两大支柱。数学思想方法可分为三个层次：

(1)较低的层次。固定模式或一定技巧的数学方法，配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等。

(2)较高层次。带有一般性的数学逻辑方法或思维方法，分析法、综合法、归纳法、反正法等。

(3)更高层次。公理化思想方法、转换与化归的思想方法、函数与方程思想方法、分类讨论思想方法等。

如果我们只是停留在初等数学的研究层面和知识框架内，就很难领悟和探讨数学思想方法传授的一般规律和方法，不能主动、有效地培养和训练学生对数学的数学直觉和数学意识。只有从更高的层次去俯视数学的结构特征和知识脉络，才能巧妙自然地把数学的基本思想方法用最合适的方法和最精当的素材表现出来，才能达到“润物细无声”的效果。

1.3 有利于深入分析中学教材体系

钻研教材分高、低两个层次。

低层次：掌握教材的组织系统(内容、结构、逻辑联系)；

高层次：针对教材现状，对教材改革与更新提出合理化建议。

掌握必要的高等数学知识，才能看清数学改革和发展的走向，才能对课程改革和教学改革做到心中有数，才能用科学的思想和科学的手段去扎实有效地开展工作，而不是根据主观猜测和单纯的教学经验去规划中学数学改革的步骤。试举例如下：

例4，如何改造平面几何？

两个参考体系：以柯尔莫哥洛夫的《几何》教材的公理系统和张景中以面积为核心的几何体系。其中柯氏几何以距离为原始概念，距离所满足的三条性质作为公理，在集合概念基础上建立起度量空间，逐步引入各种合同变换与相似变换，构成欧氏几何。它的优点是将公理化与变换群观点有机结合在一起，鲜明地反映现代数学思想；缺点是过于抽象，只有在掌握了必要的高等数学知识，才能科学、系统地讨论平面几何教材改革的整体构思与知识点的安排。

1.4 有利于高屋建瓴地看待初等数学中的具体问题

在初等数学教育实践的过程中，常常发生为了一个初等数学问题争执不休的现象，大家各自从自身对数学的理解出发给出不同的说法，似乎难有定论。而很多情况下，只要我们利用高等数学这一有效武器，就可以轻易说清楚问题的实质，从而达到统一认识，深化对数学本质理解的目的，也避免了无谓的争论。

例5，为什么要把0划归为自然数？

常见解释：

一是社会的发展需要。建国初，我国由于受国外一些国家的影响，当时的中小学教材一直规定自然数不包括0。可是，目前一些发达国家都规定0也是自然数(最先由法国发起)。为了国际交流的方便，1993年《中华人民共和国国家标准》也随之规定自然数包括0。

二是0的功能。气温上，0度结冰；刻度尺上，0是测量的起点；通讯电话，加0就通长途；古人打猎，空手而归，应记上0(记了0就表示人上过山，猎物没打到，责任在人；没记0，就可能是天下雨人没上山，责任在天)。

三是现实的必需。0在现实生活中用得更多，钱取完了电脑要打出0，手机计时到晚上12：00要显示0，新购的水表、电表、气表要显示0，……

实际上上述各种解释都没有涉及到数学本身的内在要求，只是围绕实际现象做文章，难免显得缺乏说服力。我们可以尝试着从自然数理论和公理集合论的观点出发，对此问题做出回答。

真正理由

第一，0不是自然数时，其基数功能不完整；

第二，把0作为自然数，不会影响其“序数功能”与“运算功能”；

第三，0的出现可以保证自然数集有单位元。a+0=0+a=a；

因而，只有系统地学习了高等数学知识，才能将这一问题回答清楚。

最后，我们再来看一道小学数学题：

例6，填空：1，4，7，10，____？

答：13.

疑问：答案惟一吗？可以是任意数吗？如果回答是肯定的，那么如何写出反映数组规律的通项公式呢？这一问题在小学数学的框架内很难得到满意的回答，而利用高等数学的知识，我们由拉格朗日插值法可知：

由上述公式可知，本例中的横线处可填写任意实数，这样的数学解释显得具体、有力。

2 一个优秀的初等数学教育者必须精通高等数学

高等数学不仅是高等师范院校的学生必须要掌握的课程，它对初等数学教育工作者同样至关重要。高度决定视野，角度决定方向。初等数学教育工作者更应不断地学习理解高等数学知识，才能高屋建瓴地指导初等数学，才能找出初等数学问题的高等数学背景。

思考：这个不等式从何而来？事实上由以下证法即可看出该不等式的由来。

因而，sinx

例8，2001年全国高考题20题：设m,n为正整数且n>m,证明(1+m)n>(1+n)m。

证：用初等方法比较繁琐，要用到二项式定理。事实上，对(1+m)n>(1+n)m两边取对数，

nln(1+m)>mln(1+n)，

即证

对f(x)求导

因而，原题得证。

做一名合格的中学数学老师,则必须精通高等数学知识,不断学习充实自己,才能更好地为学生服务,培养出适合社会需要的优秀人才。同时还需要加强数学教研能力的培养，结合教学内容,介绍与初等数学相关的新成果和课题,以及研究初等数学的基本方法,让学生了解或适当参与中学数学教学改革,培养他们对数学教育研究的能力。在初等数学类课程教学或专题讲座中,可适当地介绍一些与教学内容相关的研究成果,当前教改的热点课题,以及常用的研究方法,推荐一些优秀的期刊、书籍,引导学生运用高等数学的思想、方法、知识,对初等数学进行探讨。这样既培养了学生的科研能力,又激发了学生的学习兴趣。使他们感受到一种作为21世纪合格教师的紧迫感,迫使他们继续深造、进修,关注中学正在进行的教学改革。

3 结语

从高师数学系数学教育专业培养的目标来看,无论它开设什么样的课程,其目的都是要使学生通过对这些课程的学习,具备中学数学教师的基本素质，使其走上工作岗位后,能尽快地适应中学的数学教学工作[4，5]。因此,高等数学类、初等数学类、教育类的课程的学习,都是为了更好地指导中学数学的教学。初等数学类的课程,由于其内容比较接近中学数学的内容,所以可用现代数学的观点去解剖初等数学的基本概念和问题,揭示出蕴含在数学知识中的数学思想、数学方法,了解它们形成、发展的规律以及与数学历史发展的内在联系,帮助学生去分析、体会教材。对于高等数学类的课程,由于其内容与中学数学的内容差异较大,因此要根据本学科的特点,寻找高等数学与初等数学的结合点,引导学生用本学科的思想、方法、知识,从不同角度去审视初等数学,解决初等数学中一些与其相关的内容[6，7]。总之要学会运用数学思想和数学方法在高等数学与初等数学之间架起桥梁,真正发挥高等数学对初等数学的指导作用。

[1]F.克莱因.高观点下的初等数学[M].舒汀芹，译.武汉：湖北教育出版社,1980：37～40.

[2]唐复苏,鲍建生.中学数学现代基础[M].北京：人民教育出版社,2001：79～83.

[3]胡炳生.现代数学观点下的中学数学[M].北京：高等教育出版社,1981：112～117.

[4]邵瑞珍.教育心理学[M].上海：上海教育出版社,1992：204～205.

[5]沈文选.初等数学研究教程[M].长沙：湖南师范大学出版社,1995：134～136.

[6]张劲松.“高观点下的初等数学”功能分析[J].湖北大学成人教育学院学报,2004,(2)：22～25.

[7]王冰洁.高观点下初等数学问题的解决[J].白城师范高等学校学报,2002,(5)：48～52.