庄常陵

(襄樊学院 数学与计算机学院, 湖北 襄樊 441053)

状态预报值服从污染正态的抗差估计

庄常陵

(襄樊学院 数学与计算机学院, 湖北 襄樊 441053)

利用等价权原理，讨论了状态预报值服从污染正态分布的抗差估计，并利用影响函数，说明所给出的估计的确能减免粗差干扰，并针对估值的计算问题进行了讨论.

抗差估计；污染正态分布；影响函数

离散时间状态系统可以同时用状态方程:

和观测方程:

来描述. 假设状态输入噪声{Wk}与观测噪声{Δk}均为期望为0的“白噪声”序列，{Wk}、{Δk}和系统的初态互不相关，{Wk}、{Δk}均为服从正态分布的随机序列. 则Kalman给出的最优估计xˆk的递推公式[1]:

或

然而，实践证明严格服从某一特定分布的观测数据是不存在的. 如果状态输入噪声向量和观测噪声中含异常噪声而不服从正态分布，即状态预报值和状态观测值Lk受到异常干扰时，Kalman给出的估值不但不是系统状态的最优估值，甚至会偏离真值，造成难以预料的影响. 文献[2]讨论状态观测值Lk服从污染正态分布，但状态预报值服从正态分布的抗差估计，下面将讨论状态观测值Lk服从正态分布，但状态预报值服从污染正态分布的抗差估计.

1 参数估计

状态观测值Lk服从正态分布，但状态预报值服从污染正态分布，即

其中，Φx为标准正态分布，Hxk为干扰分布， εxk为污染率.

式中，kP为观测值的权阵

式(1)求级值，并令 β′(⋅) =η(⋅)得

式(2)中， [η( δ xˆk)]为列向量，其形式可选为常见的φ函数形式[1]. 取等价权元素为:

迭代解式为:

另一种解法是将准则(1)式改成:

(6)式分别对Vk，求导并令为零，得:

2 估值的抗差分析

将式(2)表示成泛函形式

同理，观测值Lkj对xˆk的影响函数可写为:

从Lkj对xˆk的影响函数(10)式可以看出，因为假设观测值Lk未受粗差污染，所以对观测值未施加控制.

3 估值的验后协方差阵

式(5)两端同时减去参数的真值xk再乘以相应的转置后取数学期望，得验后协方差:

4 关于计算问题的讨论

LS—M 估计的计算与一般估计相似，但计算时采用不同的解式其计算量和迭代收敛速度是不相同.一般情况下，当观测值的个数少于状态未知参数个数即nm时，可采用式(5)求估计值. 式(4)还可写成:

[1] 陈希孺, 赵林城. 线性模型中的M方法[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1996.

[2] 庄常陵. 观测值服从污染正态分布的抗差估计[J]. 襄樊学院学报, 2008(2): 14-17.

[3] 庄常陵. 混合型正态分布的抗差最小二乘估计[J]. 襄樊学院学报, 2007(2): 5-8.

[4] 周江文, 黄幼才, 杨元喜, 等. 抗差最小二乘法[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 1997.

（责任编辑：饶 超）

Robust Filtering Whose Status Prediction Value Obeys Polluted Normal Distribution

ZHUANG Chang-ling
(School of Mathematical & Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)

With equivalent weight principle, the robust filtering whose status prediction value obeys polluted normal distribution is discussed. With the help of influence function, it holds that the filter given can indeed derate disturbance of gross error. At last, the calculating issues of estimate value are also discussed.

Robust filtering; Polluted normal distribution; Influence function

O21

A

1009-2854(2010)02-0005-03

2009-12-29

湖北省教育厅科研项目(B200725002)

庄常陵(1968— ), 女, 江苏常州人, 襄樊学院数学与计算机学院副教授.