(1.上海贝尔股份有限公司，上海 201206；2.复旦大学 电子工程系，上海 200433)

1 引 言

在无线多入多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)系统中，若发射机预知信道状态信息(Channel State Information, CSI)，则可采用简单的波束赋形(Beamforming)技术获得阵列增益和分集增益[1-2]。在频分双工(Frequency Division Duplex, FDD)系统中，因上下行链路的CSI不具有互易性，故通常需要接收机将CSI反馈给发射机[3]。文献[4-6]分析了FDD系统中各种反馈模式下的容量或误码率性能。

然而，反馈会增加FDD系统的开销。在时分双工(Time Division Duplex, TDD)系统中，上下行链路的CSI通常具有互易性，因此，发射机可以在当前时刻利用接收到的导频信号估计出CSI，计算出用于下一时刻的发射波束赋形向量或矩阵。但是，CSI估计误差和上下行链路的时分复用特性导致的传输时延都会使得上下行链路的CSI不再具有理想的互易性。文献[7]研究了非理想互易性对多入单出(Multiple-Input Single-Output, MISO)系统中单流波束赋形的误码率影响。

目前的主流无线通信标准之一LTE(Long Term Evolution)已经在其Release-9版本中将双流波束赋形[8]列入，它不但可以实现单流波束赋形具备的分集增益和阵列增益，还能带来复用增益，正日益受到关注。就作者所知，在公开的文献中，有关TDD系统中非理想互易性对双流波束赋形影响的理论分析还十分少见。有鉴于此，针对实际系统采用非常广泛的最小均方误差(Minimum Mean Squared Error, MMSE)线性接收准则，本文研究了非理想互易条件下双流波束赋形的遍历容量。在推导出两个数据流的平均后验信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)上界的基础上，得到了与之对应的遍历容量(Ergodic Capacity)上界的闭合表达式。数值和仿真结果表明：所得上界与准确值较为接近，且互易度只会影响系统的阵列增益，而对系统的复用增益没有影响。

对本文中的符号说明如下：大小写黑斜体字母分别表示矩阵和(列)向量；I表示单位矩阵，0表示元素全为0的向量；(·)T和(·)H分别表示转置和Hermitian转置；‖·‖表示Frobenius范数；n×m表示n×m维复矩阵空间；vec(A)表示矩阵A的列展开；tr(A)表示矩阵的迹；EX(·)表示关于随机变量X的数学期望，当不致引起混淆时，也用E(·)表示；CN(m,Σ)表示均值向量为m、协方差矩阵为Σ的复高斯随机向量分布。

2 系统模型

考虑基站有M个天线、终端有N个天线(2≤N≤M)的采用双流波束赋形的下行链路。实际信道一般是频率选择性的，但采用正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)技术可以将宽带信道转化为多路窄带信道[9]。为分析方便，假设收发两端之间的信道是平坦衰落的。因此，系统的基本输入输出关系可表示为

r=HFs+z

(1)

式中，r∈N×1为接收信号向量；信道矩阵H∈

对TDD系统，双流波束赋形的过程可详述如下：

(2)

步骤3：终端估计下行链路的等效信道矩阵G=HF并基于MMSE线性接收准则做相应的信号检测。因本文着重考察非理想互易条件对系统的影响，故假设G的估计准确无误。

3 遍历容量分析

3.1 系统的等效输入输出关系

由以上分析知，式(1)可重写为

r=Gs+z=s1g1+s2g2+z

(3)

将式(3)看作系统的等效输入输出关系，它等价于一个2发N收的MIMO，可采用各种经典的MIMO检测算法进行处理。目前，考虑到性能和复杂度的折衷，业界一般采用MMSE线性接收准则，本文也遵从这一假设。对应于s1和s2的MMSE滤波器向量为

(4)

s1和s2对应的判决表达式为

(5)

3.2 后验信干噪比推导

分析系统容量的关键是推导出两个数据流的后验SINR。由式(3)～(5)可知，s1和s2具有对称性，以下将以s1为例进行分析。对s1，其滤波后的后验SINR为[13]

(6)

根据矩阵求逆引理(Sherman-Morrison公式)[12]：

(7)

将式(6)进一步化简，得：

(8)

(9)

这里利用了

(10)

(11)

式(9)和式(11)中“≤”成立源于Jensen不等式。

由对称性，s2对应的后验SINR及其均值的上界分别为

(12)

和

(13)

表1 部分M和N对应的和值

下面简要分析非理想互易情形对平均后验SINR的影响。定义平均后验SINR损失为理想互易情形与非理想互易情形的后验SINR比值的平均值，即(以s1为例)：

(14)

(15)

由式(14)和式(15)可以看出：s1和s2对应的平均后验SINR损失的下界都将随着P的增大收敛于一常数，而与P无关，且当P→∞时前者大于后者。

3.3 遍历容量推导

当s1和s2分别满足复高斯分布时，其对应的(单位带宽上的)容量为

(16)

其对应的遍历容量为

(17)

式中，“≤”成立源于Jensen不等式。将式(11)和式(13)代入式(17)即可得到遍历容量的上界。

4 数值和仿真结果

在数值计算和仿真中，设定M=4、N=2，所用信道模型及系统处理流程与第2节描述完全一致。

图1给出了信道互易度因子α为1、0.8、0.6三种情形下两个数据流的平均后验SINR与信噪比的关系。其中分析所得上界根据式(11)和式(13)计算而得，准确值根据式(8)和式(12)由Monte Carlo仿真而得；α=1对应于上下行信道的理想互易情形(下同)。从中可以发现：

(1)对每个数据流，理论分析求出的上界与对应的仿真值非常接近，说明所得上界十分紧凑，也表明了理论推导的正确性；特别地，当α=1时，上界与准确值重合，这与3.2节的分析一致；

(2)对每个数据流，α越小将导致其后验SINR越小，但不同α对应的曲线只有相对平移，而斜率相同，这一点由式(11)和式(13)也可以看出；

(3)无论是分析得到的下界还是仿真得到的准确值，相对第一个数据流，第二个数据流的平均后验SINR损失较小，这与3.2节的分析一致。

(a)第一个数据流

(b)第二个数据流

图2给出了信道互易度因子α为1、0.8、0.6三种情形下两个数据流的遍历容量与信噪比的关系。其中分析所得上界根据式(11)、式(13)和式(17)计算而得，准确值根据式(8)、式(12)和式(16)由Monte Carlo仿真而得。从中可以看出：

(1)对每个数据流，理论分析求出的上界与对应的仿真值较为接近，说明所得上界比较紧凑，同样表明了理论推导的正确性；

(2)对每个数据流，不同α对应的曲线在中高信噪比(P≥10 dB)区域只有相对平移，而斜率相同，这表明虽然α越小将导致其遍历容量越小，但只有阵列增益损失而没有复用增益损失。

(a)第一个数据流

(b)第二个数据流

5 结 论

本文分析了TDD系统中上下行链路信道的非理想互易性对双流波束赋形的影响，推导了基于MMSE线性接收准则的两个数据流的平均后验SINR及其上界，并进一步得到了遍历容量的上界。数值和仿真结果表明：所得上界与准确值较为接近，且与理想互易情形相比，非理想互易性只会降低系统的阵列增益，而对系统的复用增益没有影响。

下一步将研究非理想互易性对系统断线容量(Outage Capacity)和误码率的影响以及两个数据流之间的最优功率分配。

参考文献：

[1] Godara L C. Application of antenna arrays to mobile communications-Part I: Performance improvement, feasibility, and system considerations[J].IEEE Proceedings, 1997, 85(7):1031-1060.

[2] Godara L C.Application of antenna arrays to mobile communications-Part II: Beam-forming and direction-of-arrival considerations[J]. IEEE Proceedings, 1997, 85(8):1195-1245.

[3] D JLove, Jr R W Heath, T Strohmer. Grassmannian beamforming for multiple-input multiple-output wireless systems[J]. IEEE Transaction on Information Theory, 2003, 49(10): 2735-2747.

[4] Au-Yeung C K, Love D J. On the performance of random vector quantization limited feedback beamforming in a MISO system[J]. IEEE Transaction on Wireless Communications, 2007, 6(2): 458-462.

[5] Ma Y, Zhang D. Error rate of transmit beamforming with delayed and limited feedback[C]// Proceedings of IEEE Global Telecommunication Conference.Washington:IEEE,2007: 4071-4075.

[6] Au E, Jin S, McKay M R, et al. Analytical performance of MIMO-SVD systems in Ricean fading channels with channel estimation error and feedback delay[J]. IEEE Transaction on Wireless Communications, 2008,7(4):1315-1325.

[7] 赵昆, 周宝龙, 胡波. TDD系统中不准确的CSI对MISO传输的影响[J]. 电讯技术, 2009, 49(2):1-4.

ZHAO Kun, ZHOU Bao-long, HU Bo. Impact of Imperfect Channel State Information on MISO Transmission in TDD Systems[J]. Telecommunication Engineering, 2009, 49(2): 1-4. (in Chinese)

[8] Work Item Description for Enhanced DL transmission for LTE[R]//RP-090359.Bianrritz,France:CMCC,2009.

[9] Hwang T, Yang C, Wu G, et al. OFDM and Its Wireless Applications: A Survey[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2009, 58(4):1673-1694.

[10] Hassibi B, Hochwald B M. How much training is needed in a multiple-antenna wireless link?[J]. IEEE Transaction on Information Theory, 2003, 49(4):951-964.

[11] W Jakes. Microwave Mobile Communications[M]. Washington: IEEE Press, 1994.

[12] 张贤达. 矩阵分析与应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.

ZHANG Xian-da. Matrix Analysis and Applications[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004. (in Chinese)

[13] Varanasi M, Guess T. Optimum decision feedback multiuser equalization with successive decoding achieves the total capacity of the Gaussian multiple-access channel[C]//Proceedings of Thirty-First Asilomar Conference on Signals, System and Computation.Pacific Grove, California:IEEE,1997: 1405-1409.

[14] Edelman A. Eigenvalues and Condition Numbers of Random Matrices[D]. Boston: Massachusetts Institute of Technology (MIT), 1989.