郭艳蕊

濮阳职业技术学院，河南濮阳 457000

分形维数在图像边缘检测中的研究与应用

郭艳蕊

濮阳职业技术学院，河南濮阳 457000

用常规的盒维算法来分割和计算，会产生不精确的结果。鉴于传统盒维数法的不准确性，在Jiefeng分数盒子维算法的基础上提出一种维数匹配的算法，并将此算法应用于边缘检测，实验表明该算法能精确有效的检测图像的边缘。

分形；边缘检测；图像处理

1 背景

基于传统边缘检测算法的不足，本文研究一种以盒维数为基础的分形分数盒子维算法。利用Jie Feng分数盒子维数计算出的精确维数，提出一种基于分数盒子维的维数匹配算法，并将该算法应用于图像边缘检测。与传统的边缘检测方法相比较，分数盒子维的维数匹配算法更能精确丰富清晰的检测边缘点，并通过实验验证其有效性及可行性。

2 分数盒子维的维数匹配算法

维数匹配算法的基本思想：

由于JieFeng算法计算出的维数是目前维数计算算法中较精确的一种算法，为此，基于该算法提出一种新的维数匹配算法，该法的基本思想是基于分形图像的自相似特征，把分数盒维数D作为图像边缘检测的分形特征。为了进行边缘检测，我们需要计算整幅图像的维数。既然维数存在一定的范围之内，我们可以将分形维数图映射为256灰度级的灰度图，2.0对应灰度0，3.0对应灰度255。维数较大的区域相应灰度变化剧烈，存在边缘；维数较小的区域其灰度变化也就缓慢或者比较光滑，不存在边缘。前面我们已经分析过，分数盒维数的精确性比较高，可以得到准确的维数值，即使维数在3的附近也可以，那么就可以比较准确的定位边缘位置。

基于分形图像的自相似特征，如果D块D和R块R的分数盒维数相差大，那么D不能匹配R。换言之，如果D匹配R，则D和R 的分数盒维数相差不大。在上面的分数盒子维算法基础上我们提出分数盒子维的维数匹配算法。图1是以某像素点为中心的小邻域块和局部区域块的示意图。

图1 任一像素点基元块和局部区域块示意图

设任一像素点的位置坐标为(x0,y0)，以该像素为中心的小邻域块记为B×B，B可取2，3，4(像素长度)等；以(x0,y0)像素为中心的局部区域块记为D×D，D可取为2B或3B等。为分析方便，图中取B=2，D=2B。B×B图像块可视为图像的一个基元，根据分形图像自相似的特点[1]，这个基元和其局部区域块D×D在灰度曲面的三维形状上，应具备一定的类似性。从D×D到B×B，在图像投影平面上，类似于函数迭代系统IFS中的压缩几何变换[2]；为考察二者灰度曲面的相似性．或灰度变换，应使二者对应的像素点数一致。如果B块和D块的分数盒维数相差大，那么D就不能匹配B，换言之，如果D匹配B，则D和B的分数盒维相差不大。为此，应对D×D局部区域块进行抽样处理或平均压缩处理。抽样处理时，可在D×D块中，取相邻每个基元块中的中心像素点。平均压缩处理时，可取DD块中每个基元块各像素值的平均值，作为该基元块中心像素的灰度值。为分析方便，记基元块中分数盒维数依次为(b1,b2,...bn)，记D×D块中的各抽样分数盒维数依次为( d1,d2,...,dn)。这二者具有自相似关系，则2个块之间各分数盒维数n维样本之间的欧氏距离应最小，即

显然，式(4.1)就是n维样本之间的欧氏距离，距离越小，两者相近程度越大。除了距离外，还可以用统计意义上相似性大小的指标相关系数R来衡量2个模块之间的相近性，定义分别如下：

显然，R越大，E越小，故可用R或E作为衡量任一像素点的B×B基元块和D×D 局部区域块在统计意义上相似性大小的指标。设定距离大小指标的阈值T1，,R的的阈值T2，如果E(B,D)大于阈值T1或者R小于阈值T2，那么D就不能匹配B,否则匹配。

3 实验结果

针对各种图像，分别选用Roberts、Sobel、Canny 、Log算子、维数匹配算法进行边缘检测，从算法公式和检验结果可以看出，利用维数匹配算法检测出来的边缘清晰、丰富、细腻，且具有较强的抗干扰能力。较其他边缘检测算子来说是较好的一种边缘检测算法。

4 结论

利用上述算法，分别对多幅图像进行了边缘检测实验。实验结果表明：本章提出的利用分形特征和图像灰度梯度变化相结合进行图像边缘检测的方法，能精确有效的提出图像的边缘，并且在含有噪声的图像中，仍能提取较丰富的边缘细节，具有较强的抗噪声性能。

同时，实验也证明了维数匹配算法的一个不足：由于在盒子分析时不仅考虑了盒子间的变化，还考虑了盒子内部的变化，因此，该算法在时间上不比其他算法优越。

[1]李庆中，汪懋华.基于分形特征的图像边缘检测算法.中国农业大学学报.1994，4（6）：78-80.

[2]甘龙.分形理论及其在图象边缘检测中的应用研究.合肥工大硕士学位论文，2002：1-30.

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1674-6708（2010）21-0105-01

郭艳蕊，助教，工作单位：濮阳职业技术学院数学与信息工程系，研究方向：计算机应用