郑 津

(湛江教育学院 数学系，广东 湛江 524037)

关于“降阶和升阶”思想在代数中的应用

郑 津

(湛江教育学院 数学系，广东 湛江 524037)

我国传统的教学实践总结出基础知识、基本技能和基本方法的“三基”的教学模式，这种教学模式为造就千千万万优秀的服务型人才做出了的贡献。为了适应新世纪知识经济发展的需要，新的数学教学模式除了必须继承“三基”优良传统外，还要培养学生的基本思维和基本能力，从而为造就创新型人才服务。文章针对这个问题，结合高等代数教学内容，给出了一系列“降阶和升阶”的教学方法及其应用，促进了学生创造思维和创新能力的培养，从而达到提高学生数学能力的目的。

降阶和升阶；教学模式；高等代数教学

一 在处理行列式问题的应用

计算高阶行列式是件十分复杂而困难的事情，人们在研究各种各样的解法时，都运用了降阶的思想，其实，降阶的思想非常之简单，就是将高阶行列式，根据性质，化为比它低阶的行列式，从而简化计算。在一般教科书中都有介绍的“行列式按一行（列）展开“和Lapluce定理”等内容，都可以把行列式降阶，在计算行列式中经常用到的“将原行列式化成上（下）三角形行列式”和“找递推关系式以求原行列式”等方法，实际上都是降阶的思想方法。下面以一例说明其思想的应用。

例1：计算n阶行列式n∆

解：把行列式按第一行展开得两个行列式，第二个行列式再按第一列展开数到：

由此得：∆n- α∆n-1= β (∆n-1- α ∆n-2)

由这式可以递推得到：

为了消去∆n-1，上式两边同时除以αn，再用递推式得：

从上例可以看到，解决问题的关键是：把n阶行列式△n降阶，且寻找递推关系式。

例2 利用准范德蒙行列式计算公式求行列式的值[3]

若E是k(k＞1)阶单位矩阵，A（ii=1,2,3…n）为n个k阶方阵,且两两可交换(即对任意的 Ai,Aj,有Ai A j=Aj A i ,i,j=1,2,3…n),

则这样的行列式被称为准范德蒙行列式:

公式 1 若行列式D满足D为准行列式,

由于这样的行列式形式较特殊也比较固定，因此直接利用准范德蒙行列式公式（公式 1），达到降阶的目的，从而简化了计算。

虽然降阶的思想在计算行列式中经常用到，但有些题目需要用升阶的思想，即是对某些行列式来说需要将它的阶数放大，使升阶后的行列式易于计算，从而求出原行列式。

例3 计算n阶行列式：

解：这行列式与范德蒙行列式非常相象，若在第n-1行与第n行间添加一行，再在第n+1列处添加一列

虽然有些行列式可以应用升阶的方法，但一般说来，这种方法不易掌握，因此，在解决行列式问题时，只有在用其他方法比较难，而又明显地可应用“升阶法”（如上例2）时才考虑用此法。

近年来，有些专著介绍了下面两个降阶公式，对于我们处理行列式问题有极其广泛的应用。

例4：计算：

解：

证明：由公式2:

从上面两例可以看到，两公式给我们解题带来了很大的方便。

二 在矩阵论中的应用

“降阶”在矩阵应用中的思想也很简单，就是将高阶矩阵问题化为低阶矩阵问题来处理，要实现这一思想可以将原矩阵M运用若干次初等变换化为“分块上（或下）三角阵”再由低阶矩阵A、B、C按问题的要求来处理。

由于矩阵的复杂性，与行列式一样，有时反而把矩阵作适当的“升阶”、对“升阶”后的矩阵进行处理，从而达到解决矩阵问题的目的。

解：把矩阵A“扩大”再对新矩阵施行行的初等变换，如下：

三 “降阶”的思想在求矩阵的秩中的应用

下面的两个公式可以把求高阶矩阵的秩的问题，化为低阶矩阵的秩的问题，从而简化计算，公式4：设A是m×n阶阵，的可逆顺序主子阵，则

公式5：设A与D分别是r与S阶可逆阵，B与C分别是r×s与s×r阶矩阵，则：

这两个公式通常称为的矩阵的“降阶”公式，它们与公式1、公式2一样，也有广泛的应用。例8，求下列矩阵A的秩，其中：

解：交换A的第2、3两行（其秩不变），由公式3可得：

证明：设秩（A）=r、A=HL.其中H与L分别为n×r阶列满秩阵，与r×n阶行满秩阵，则由公式4：

∴A是幂等阵。

四 在线性变换中的应用

“降阶”地思想在线性变换中的运用，主要体现在特征多项式的内容中，容易证得下面的特征多项式的“降阶”公式。公式6：设A,B分别是m×n与n×m阶阵，m≥n，则

例10，设A,B是n阶可逆阵，α与β是n维非零列向量，证明

证:由行列式乘法规则以及公式5，有

综上所述，我们看到“降阶和升阶”的思想虽然非常之简单，但它在代数中的运用甚广，如果运用得恰当，对我们解决问题将有很大的方便。

[1]施开良,姚天扬,俞庆森.培养创新型人才要有新思路[J].中国高等教育,2003,(17).

[2]Yubin Zhong, The Thought of Fuzzy Mathematics Modeling is infiltrated in HSMT[J].Advance in Intelligent Soft Computer, 2009,54(2).

[3]齐登记.准Vandermonde行列式[J].合肥工业大学学报,2006，vol29(2).

[4]屠伯埙.线性代数——方法导行[M].上海:复旦大学出版社,1986.

[5]北京大学代数几何与力学教研室.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978.

[6]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1980.

（责任编校：燕廉奚）

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A

1673-2219（2010）08-0005-07

2010－03－01

郑津（1957－），女，广东阳江人，湛江教育学院数学系讲师，从事基础数学研究。