肖 瑛,冯长建

(大连民族学院机电信息工程学院,辽宁大连 116600)

0 引言

傅里叶变换方法作为一种全局的线性的处理方法[1],无法满足频谱结构随时间变化的非平稳信号的分析,用时频联合分析的方法来处理信号,可以揭示信号的时频细节,从而更有效地识别信号特征。目前,已经广泛应用于语音、声纳、雷达、机械震动、生物医学和地球物理信号等处理领域[2]。常用的时频分析方法分为线性时频表示和二次型时频表示两大类:线性时频表示以STFT和小波变换为代表;二次型时频表示主要包括谱图、Cohen类时频表示和Affine类时频表示等。众多时频表示中,STFT方法计算简单,不受二次型时频分布固有的交叉项影响,特别适用于跳频类信号的分析。但是,STFT方法分析中采用固定时间窗函数,时间分辨率和频率分辨率相互制约,影响STFT的时频聚集性,为此,文中提出了一种组合窗函数的STFT时频表示方法。

1 短时傅里叶变换(STFT)

STFT定义为[3]:

式中,g*(t)表示时间窗函数,上标“*”表示复共轭,从式(1)中可看出:对于特定的时刻t,STFT是信号x(t′-t)与中心在t的平滑移动窗函数g*(t′-t)乘积的傅里叶变换。从这个意义上,STFT可以理解为信号x(t′)在分析时刻t的局部频谱。由于分析窗的作用,在分析窗以外的信号得到抑制,对应的STFT在频域可表示为:

比较式(1)和式(2)可看出:STFT的时域表示和频域表示很相似。实际上,频域中STFT的表示可以看作信号频谱与时间窗谱乘积的反傅里叶变换。因此,STFT在时域和频域具有同样的局域性,能实现对信号的时间和频率的局域化分析。STFT的等效低通和带通滤波器如图1和图2所示。

图1 STFT的低通实现Fig.1 STFT implementation by low-pass filter

图2 STFT的带通实现Fig.2 STFT implementation by band-pass filter

与其他时频表示相比较,小波分析可根据信号频率变化,通过时间尺度变化在时频表示区域具有不同窗,但是小波基的选择是一大难题。Ville-Wigner分布(WVD)已经被证明,时间带宽积达到了Heisenberg不确定性原理的下界[4],对单分量信号具有最佳的时频分辨率,但对多分量信号进行分析时,由于其二次型时频表示的本质,具有交叉项的影响[5],这使得WVD的时频表示可读性大打折扣。

2 STFT的时频聚集性

通过STFT等效低通和带通滤波器实现的分析可知,STFT在时刻t的时频表示是由信号x(t′)通过加窗函数g*(t′-t)作傅里叶变换得到的,如果想获得好的时间分辨率,那么希望用短的时间窗函数来刻画时刻的信号特征,相反,STFT在频率 f处的STFT可看作信号x(t′)通过带通滤波器G*(f'-f)得到的,要想具有好的频率分辨率,则希望窄带滤波器对应的也就是长的时间窗函数,因为时域变短对应频域展宽。可见,STFT的时频表示在时间分辨率和频率分辨率之间是矛盾的,存在一个基本的折衷,即得到好的时间分辨率就要牺牲频率分辨率,反之亦然[6]。

举例来说明,如果时间窗函数取δ(t),那么

此时STFT变成了信号x(t),保持了信号的所有时间特征,具有完美的时间分辨率,但是频率分辨率为0,即没有任何频率分辨率。另外一种极端情况,取时间窗函数无穷长,即g(t)=1,则其傅里叶变换为δ(f),此时

可见,STFT变成了傅里叶变换,有最好的频率分辨率,但是没有任何时间分辨率。

通常用时间带宽积来表征STFT时频表示的时频聚集性,定义带通滤波器的带宽Δf为:

定义时间窗函数的时宽Δt为

把一个信号的时宽Δt和带宽Δf的乘积大于等于一个常数称为不确定性原理,即Heisenberg不等式[7]

在不确定性原理约束下,时频表示的时间分辨率和频率分辨率不可能同时任意好。

3 组合窗函数的STFT

STFT的缺陷是对于窗函数一旦选定,则在整个分析过程中都使用相同的窗,其分辨率在时间-频率平面上的所有局域都是相同的。选择最佳的时间窗函数(时间带宽积等于下限)也是非常困难的,虽然已经有专家提出了一些改进方法,如自适应窗函数的STFT方法ASTFT[8],但是自适应窗函数是否为最佳窗函数在理论上也很难证明,并且计算复杂度相当高。

通过分析也可以发现STFT具有如下优点:若信号在给定的时间间隔[-T,T]和频率间隔[-F,F]内具有大多数能量,则其STFT将局域化在区域[-T,T]×[-F,F]上,而在信号没有多少能量的时间和频率间隔处,STFT接近为0,根据这一性质,给出一种组合窗函数的STFT时频表示方法。

以离散STFT来说明组合窗函数的实现过程,离散STFT的表达式如式(8):

对应于每一个时刻n0,STFT都是一组DFT,考虑N点DFT,对应的ω可以表示成式(9):

可见:即使采用不同长度的窗函数,如果N相等,最终得到的STFT时频表示结果将有相同的维数。

设长、短窗函数的频率分辨率和时间分辨率分别为 Δf 1、Δt1和 Δf 2、Δt2,显然,Δf 1 ＜Δf 2,Δt1 ＞Δt2,并设信号x(n)的能量分布在[-T,T]×[-F,F]内,那么,对于较长窗函数得到的STFT时频表示将局域化在[-T-Δt1/2,-T+Δt1/2]×[-f-Δf1/2,-T+Δf1/2]内,其他区域为零;同理,对于短窗函数的STFT时频表示局域化在[-T-Δt2/2,-T+Δt2/2]×[-f-Δf2/2,-T+Δf2/2]内,其他区域为零;将两组时频表示点乘,可以得到最终的组合窗函数时频表示局域化在[-T-Δt2/2,-T+Δt2/2]×[-f-Δf1/2,-T+Δf1/2]内,具有短时间窗函数的时间分辨率和长时间窗函数的频率分辨率。

4 仿真验证

以式(10)仿真跳频数据为例来对文中提出的方法进行验证,其中,f 1=100 Hz,f 2=200 Hz,采样频率 fs=1 000 Hz,信号的时域波形如图3所示。

图3 仿真跳频信号Fig.3 Simulation frequency-hopping signal

加1/2数据长度的Hamming窗函数得到STFT时频表示如图4所示,加1/8数据长度的Hamming窗函数得到STFT时频表示如图5所示,采用组合窗函数方法得到的时频表示如图6所示,准确地刻画了仿真跳频信号包含的频率成分以及频率跳变时刻。从图7中可看出WVD在两分量信号之间明显存在交叉项干扰,而图8所示的小波谱的时频分辨率不如文中提出的组合窗函数STFT方法,同时,小波时频表示在小波基的选取上存在着困难。

图4 STFT(加1/2数据长度的 Hamming窗)Fig.4 STFT(with 1/2 length of data Hamming window)

图5 STFT(加1/8数据长度的 Hamming窗)Fig.5 STFT(with 1/8 length of data Hamming window)

图6 组合窗函数的STFTFig.6 STFT with combination of time window

图8 小波时频表示Fig.8 Wavelet time-frequency representation

5 试验数据验证

以采集的遥测高频振动信号为例来对组合窗函数STFT时频表示方法进行验证。该试验数据按试验过程中的特征时刻应有两处明显的频率跳变,采用时频分析的目的是找出频率分布范围和频率跳变时刻,以确定试验过程是否正常。其中传感器采样频率为10 k Hz。图9为信号的时域波形(经过了最小二乘趋项去除和小波软阈值降噪),图10和图11为分别采用1/4和1/8数据长度的Hamming窗函数得到的STFT时频表示,图12为组合窗函数的STFT时频表示,图13为WVD时频表示结果,图14为小波时频表示,比较几种时频表示结果可看出,组合窗函数的STFT时频表示有效的组合了长时间窗函数和短时间窗函数对应的频率分辨率和时间分辨率的优点,具有最佳的时频聚集性。

图9 某传感器采集高频振动信号时域波形Fig.9 The high-frequency signal from one sensor

图10 1/4数据长度Hamming窗的STFTFig.10 STFT(with 1/4 length of data Hamming window)

图11 1/8数据长度Hamming窗的STFTFig.11 STFT(with 1/8 length of data Hamming window)

图12 组合窗函数的STFTFig.12 STFT with combination of time window function

图13 信号的WVDFig.13 The WVD of signal

图14 信号的小波时频表示Fig.14 Wavelet time-frequency representation

6 结论

固定时间窗函数的STFT时间分辨率和频率分辨率相互制约,影响时频聚集性。通过分别采用长、短窗获得两组STFT时频表示并以乘积结果作为最终时频表示的组合窗函数方法,可使STFT时频表示方法具有长时间窗函数STFT的频率分辨率,同时具有短时间窗函数STFT的时间分辨率。仿真和试验数据处理结果表明:组合窗函数有效提高了STFT时频表示的时频聚集性,对于多分量叠加信号和跳频类信号具有很好的时频表示结果,而实际工程上如故障检测、医学信号处理等领域中,这类信号具有普遍性,因此,该法具有实际工程应用价值。

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