光子运动的蒙特卡罗方法用于LED灯具设计

2010-08-08付元增熊娟

照明工程学报 2010年3期

付元增熊娟

(濮阳职业技术学院，河南濮阳 457000)

1 前言

LED是发光二极管的简称，它是电致发光的半导体发光器件。过去常规的LED多为发红光或绿光的，只能在产品上充当指示灯信号。随着光电技术及材料科学的发展，在全球能源短缺的忧虑再度升高的背景下，欧、美及日本等国成立了专门的机构，研制出了白光LED，且其发光效率正在逐步提高［1］。但是光源的形状、大小和光强分布都会对照明系统的配光效果产生重要的影响。目前在照明光学系统的计算机辅助设计中，时常将光源近似看作点光源或者线光源。但对于一些照明系统特性要求较高的场合，这种近似误差太大，需要建立更加复杂精确的光源模型，将实体模拟为面光源甚至是体光源［2］，从而获得更好的照明模拟效果。

结合不同照明的要求，充分分析LED灯光子的特点，考虑LED的发光原理和特性，从塑造合理光环璄的要素出发，优化LED的光分布，避免眩光的同时使LED的出射光线更加合理高效，达到照明的要求，理性地将LED应用于各种照明工程中，才能最大限度发挥LED照明的优点，而避免盲目使用所带来的负面的影响。为了改善传统LED出射光角度狭小，光强随角度变化迅速衰减，光谱空间分布不均，边缘存在严重偏色等问题，必须改进LED封装结构的设计［3］。将LED应用于照明工程中也面临着一系列的挑战，例如单颗LED的光通量还难以满足普通照明的需求、单位成本过高、光效比气体放电灯低、色差大、稳定性不足等。同时散热问题在LED器件的封装中占有十分重要的地位，在封装结构、封装材料方面，如何有效解决LED散热问题成为发展的关键［4］。

蒙特卡罗方法来源于人们对随机抽样事件的概率理解，将一个复杂问题简化为许多次简单的随机实验的方法。采用蒙特卡罗方法对光子运动随机抽样，较真切的模拟光子运动的过程，反映了光子的运动规律，模型可以设置空间多维、多因素等复杂的条件，计算出光子与封装曲面碰撞新方向，统计出光子的运动数据，同时封装曲面参数的变化对光子散射的影响，通过模拟计算得到不同情形下散射光子运动轨迹，光子封装曲面内部发生的散射误差的分布，为LED灯在照明工程的设计提供理论依据。

2 光子飞行模拟

在坐标系 x，y，z中将光源传输的光子分解，各自以2π方向角传播，那么光子空间飞行模型为:

其中r1，r2，r3分别为沿各自方向的运动半径;φ1，φ2，φ3分别为光子与空间方向轴的夹角;β1，β2，β3分别为光子的衰减系数;ω1，ω2，ω3分别光子运动的角频率。

根据光子空间飞行模型［5］，光源 s至 LED灯曲面p点之间的距离为r，再把r等分为n份，每份的长为r/n，第一份sp1的距离为r1，第二份p1p2的距离为r2，第三份p2p3的距离为r3，……第n份pn－1pn的距离为rn，如果n足够大，这每一份距离就足够短，就是说，光从点S发出，频率为ν0，通过距离 r1到达点p1，频率为ν1=ν0+Δν1;光又以频率ν1从 p1通过 r2到达 p2，频率为 ν2= ν1+Δν2;光又以频率ν2从p2点通过距离r3到达 p3点，频率为 ν3= ν2+ Δν3;……;光又以频率 νn－1从 pn－1点通过距离 rn到达 pn点，频率为 ν= νn= νn－1+Δνn，按照级数推导得出:

c是光速，h叫做哈勃常量，光的频率ν随着r的增长而不断按自然负指数规律衰减，根据爱因斯坦的光子假说及其对光电效应的量子解释，入射光子的频率越高，光子的初动能越大，即

那么光子运动与封装曲面发生弹性散射相函数为:

其中θ为散射角，dCsca/dΩ为微分散射横截面［6］。

为总的散射截面。

根据Henyey-Greenstein相函数方程导出，再通过坐标变换，光子新运动方向为:

φ为方位角。

散射后光子能量:

如果被曲面吸收:

其中α为材料线性吸收系数，β为双光子间吸收系数，γ为三光子间吸收系数，在光子被吸收的过程中，封装曲面材料系数占主要因素。

同时考虑空间温度对LED灯的光子影响:

kB为波尔兹曼常数;T为绝对温度;Et是封装曲面的介质能带间隙;ν0为绝对温度时的光子运动频率。

当光子传输到一个新位置时，不仅光子的能量被材料吸收、光子的传输方向会发生改变，而且权重减少，光子每与封装曲面碰撞后都将有部分光子被吸收，假定经过τ－1步碰撞后继续传输的光子的权重为wτ－1，则经过τ步后光子的权重将更新为:

其中β是材料散射系数。

产生大量的光子采用线性同余法:

其中，a和N分别是乘子和模，t表示时间。

3 蒙特卡罗模拟

光子在封装曲面内部的运动是一个随机过程，通过随机数来模拟与光子运动相似的事件，然后通过观察模拟过程，计算光子的运动特征，最后得出运动特征参数近似值。实质上蒙特卡罗模拟就是跟踪光子在封装曲面内部吸收和散射过程，若发生散射，则由适当的散射相位函数就能选取散射后新方向，光子运动这个过程重复进行，直到光子被封装曲面吸收，蒙特卡罗的模拟方法既可以较精确地求解一个光子运动模型，不但给出具体、形象的光分布结果，而且通过对光学结构的参数进行修正可以很容易地看出修改所产生的对光分布的影响，这种影响反馈到对光学结构的修正中，以改变封装曲面的设计。

假定光子运动与封装曲面发生第一次碰撞的位置x1，可由概率密度决定:

其中 σ(ν)是频率为 ν光子的总截面［7］，根据媒质对光子的吸收截面，决定它是否被吸收，如果σ1(ν)是吸收截面，σ2(ν)是散射截面，再由计算机产生随机数 k，如 k<σ1(ν)/σ(ν)，则光子被吸收，不然则未被吸收。如被吸收，则须重取一光子，从头开始这个过程;如未吸收，则从克莱因-仁科公式和康普顿公式决定光子经过一次散射后的频率ν和光子散射前与散射后的方向之间的夹角，由此可得出光子散射后的方向，连续使用这样的过程，就可研究光子在封装曲面中的行为。所以追踪一个光子行为的过程是这样的:先定光子的碰撞位置，然后再定光子的频率改变和方向改变，对一个光子一直追踪下去，直到它被吸收，或被反射出这个封装曲面媒质，或穿透过这个封装曲面。

以后再取一个光子，用上面所述的办法进行追踪。如果所取的总光子样品数目为k，其中k′个光子被封装曲面媒质吸收，则吸收率ρ为

进行蒙特卡罗模拟时，计算的光子总数和随机数产生的质量都会影响模拟的精度，但是当光子数目达到一定量后，在增加光子将不会对结果的可靠性产生有利的因素，因此为得到小于3%的统计误差，光子数为105个。确定光子的运动过程终止条件:光子在封装曲面中传输但其频率ν衰减到低于一定的阈值时即停止。

光子运动的误差函数［8］为:

式中，Xa为与置信度α对应的量，k模拟的光子总数，δ是统计估计值的标准方差，定义为:

蒙特卡罗方法模拟光子运动的过程［9］，其步骤为:

(1)根据入射条件确定起始跟踪点;

(2)确定光子行进的角度和下一次碰撞的位置;

(3)确定在该位置光子的吸收、散射和发射状态;

(4)判断光子是否被吸收;

(5)返回第二步。

4 仿真实验

所用软件为Matlab7.0，尽管在每个光子运动垂直面中的光通量是均匀分布的，假定散射运动是各自独立的。在模拟中做了几点假设:(1)光束是无发散;(2)光束的入射方向是2π;(3)为了利用所有模拟光子，节省计算时间，假定接收屏为无限大;(4)温度为常温，这样就可以无限接近LED实际的模型，模拟出LED实际发光效果，跟踪光子在封装曲面中散射和吸收事件，直到被吸收或者逃离表面。图1到图4为单一光子运动情况，图1为没有被吸收的光子空间运动轨迹模拟，图2为光子被封装曲面反射模拟，图3为光子被封装曲面吸收模拟，图4为温度升高光子运动模拟，图5到图8为大量光子与封装曲面碰撞后的情况。