江 华， 张 静

（①海军工程大学 装备经济管理系，湖北 武汉 430033；②海军万寿路干休所，北京 100000）

0 引言

在光纤通信系统[1-2]中，单模光纤的弯曲损耗是使信号劣化的主要因素之一。在测量弯曲损耗时，早期的理论在假设光纤具有无限扩展包层的条件下，给出了一个简单的计算模型，这个模型预测弯曲损耗与弯曲半径和波长之间存在单调变化的关系[3]。然而近年来，实验显示单模光纤中弯曲损耗随弯曲半径和波长的变化都呈现出振荡的现象[4-6]。这是因为包层尺寸的有限性和涂覆层的存在，致使纤芯中传播的场和从包层与涂覆层的界面上反射回来的部分辐射场发生耦合，并不如传统理论假设的那样，所有的弯曲损耗都从基模中泄漏出去永远损耗了。为了解释这一现象，Harris和Castle从射线理论的角度出发，认为这是由基模和whispering gallery模之间的耦合引起的[7]。近年来，人们开始从波动理论的角度出发，利用数值法来分析单模光纤的弯曲损耗。Valiente和Vassallo得出了关于弯曲损耗的线性方程组[8]。Vendeltrop－Pommer和Povlsen利用波束传播法（BPM：Beam Propagation Method）对这一现象进行了解释[9]。只有Murakami和Tsuchiya把弯曲光纤看作五层平板波导[4]，在传统损耗公式的基础上，乘以一个修正因子，得到一个相对简单的损耗公式。

本文采用一个简单的模型，仿真和分析了单模光纤中弯曲损耗随弯曲半径和波长变化的关系，并对关系曲线的特性进行了讨论，得出了一些有价值的结论。

1 理论模型

由于可将求解单模光纤的弯曲损耗转化为求解弯曲光纤基模传播常量的虚部，而传播常量的虚部又与波动方程后向场在轴芯上的强度有关，所以我们只要求解由弯曲光纤转化而来的等效直光纤的波动方程，得到后向场在光纤轴芯上的强度，进而就可求得单模光纤弯曲损耗系数。

弱导近似时，弯曲光纤中的横向场分布为(,)xyψ，它满足二维标量方程。根据以上的理论思路，通常采用的方法为通过修正折射率将弯曲光纤等效成直光纤。此时标量方程对坐标y的傅里叶变换为：

式中：k0=2πλ为真空中的波数；β0为未受扰动直光纤基模的传播常量；ς为y分量的傅里叶变换共轭量； nq是q区域的折射率。

式（1）解为：

设 Rc为弯曲半径的临界值，当 R ＜Rc时，损耗会急剧增加，振荡现象也会充分显现。其通过对艾利函数的近似，我们可以进一步求取后向场轴芯上的强度，最后得到弯曲损耗系数。设L2=b RrRC，当L的值较大时，繁琐的无穷积分就能得到替代，得到一个简单的弯曲损耗系数的表达式：

其中：2Bα是传统理论中具有无限延伸包层的单模光纤的弯曲损耗系数。对于纤芯折射率为1n的阶跃型光纤，2Bα值为：

2 实验与分析

本文仿真实验采用的是 G.652型光纤，其参数如表 1所示。

表1 光纤参量

图 1、图 2分别是理论仿真得到的单模光纤弯曲损耗随弯曲半径及波长变化的曲线以及实际测得的实验数据。图中的虚线和实曲线分别是式（4）和式（3）的仿真结果，从中可以看到传统理论所推导的弯曲损耗和弯曲半径及波长的关系是单调的。而实曲线随着弯曲半径的增大呈递减趋势的同时还伴随着振荡现象，并且弯曲半径越小，振荡越频繁越剧烈。图2中，横坐标数值应乘以10-3单模光纤的弯曲损耗随着波长的增大呈现递增趋势的同时也伴随着振荡现象。由于实验条件有限，只取了较少的半径值进行实验，所以实验显示的振荡现象不是很明显，但是损耗曲线和实验数据在所对应的半径值上还是基本一致的。

图1 单模光纤中弯曲损耗随弯曲半径变化的曲线

图2 单模光纤的弯曲损耗随波长变化的曲线

观察式（3），因为 Z3＞Z2＞0，所以当，式（4）可取得局部最大值，即波峰值；（m为任意正整数），式（4）取得局部最小值，即波谷值。对以上两式进行化简计算，可得到如下条件等式（7）：

这一结论刚好与文献[7]的分析相吻合：弯曲损耗的振荡现象是由光纤中的基模和在包层和涂覆层中传播的whispering gallery模之间的耦合引起的。当两种模的相位同步，即同相耦合时弯曲损耗振荡曲线出现最大值；反之，当两模的相位异步，即异相耦合时，弯曲损耗振荡曲线出现最小值。通过式（5），单模光纤弯曲损耗出现峰值和谷值时所对应的弯曲半径值就可以比较准确地被预测。下页图3给出了式（5）的仿真结果，“▽”和“O”分别标识的是峰值和谷值位置的预测值。由于实验中弯曲半径取值的困难，这里取了三组数据，见下页表2。

表2 波峰预测实验

实验结果如图3所示，虽然半径取值没有完全与理论值相等，但是实验数据从大体趋势上体现了理论预测的正确性。通过对弯曲损耗曲线峰－谷值位置特性的了解，我们可以更为深入地掌握单模光纤弯曲损耗的振荡规律。

图3 单模光纤的弯曲损耗波峰－波谷位置预测

3 结语

本文采用一简单的分析模型，对单模光纤的弯曲损耗和弯曲半径、波长的关系进行了仿真和实验,观察到弯曲损耗随弯曲半径和波长的变化具有单调变化趋势的同时还呈现振荡的现象。并在此基础上，对关系曲线的特性进行了深入地分析，得出了峰－谷值位置的计算式，分析表明，弯曲损耗的振荡现象是由光纤中的基模和在包层和涂覆层中传播的whispering gallery模之间的耦合引起的。这对我们在实际应用中掌握单模光纤弯曲损耗的情况有相当大的帮助。

[1] 梁成升.认识光纤光缆[J].通信技术,2009,42(05):68-70.

[2] 龙海,刘鹏.全双工光纤无线通信系统中的关键技术研究[J].通信技术,2009,42(05):60-62.

[3] Marcuse D.Curvature Loss Formula for Optical Fibers[J].Opt.Soc.Amer,1976,66(03):216-220.

[4] Murakami Y, Tsuchiya H. Bending Losses of Coated Single-mode Optical Fibers[J].IEEE Quantum Electron,1978,l4(07):495-501.

[5] Renner H. Bending Losses of Coated Single-mode Fibers: A Simple Approach[J].Lightwave Technol,1992,10(05):544-551.

[6] Faustini L, Martini G. Bend Loss in Single-mode Fibers[J].Lightwave Technol,1997,15(04):671-679.

[7] Harris H J, Castle P F. Bend Loss Measurements on High Numerical Aperture Single-mode Fibers as A Function of Wavelength and Bend Radius[J].Lightwave Technol,1986(04):34-40.

[8] Valiente I, Vassallo C.New Formalism for Bending Losses in Coated Single-mode Optical Fibres[J].Electron. Lett.,1989(25):1544-1545.

[9] Vendeltorp-Pommer H, Povlsen J H. Bending Loss and Field Distributions in A Bent Fibre Calculated with the Beam Propagation Method[J].Opt.Commun.,1990(75):25-28.