秦朝红，陈予恕

(哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001，zhh-qin@163.com)

寻找动力学系统主分岔参数的一种方法

秦朝红，陈予恕

(哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001，zhh-qin@163.com)

对于多参数系统，为了能很好的研究系统动力学特性随参数的变化，给出了一种寻找动力学系统主分岔参数的方法.通过对特征根进行扰动，来判断对系统动力学特性影响最主要的参数.针对不同的特征根类型给出了不同的算法，并举例进行了验证.该方法能有效地从诸多的系统参数中识别出对系统动力学特性影响比较大的参数.而且按照参数对系统动力特性影响的大小进行排序，同样可识别出主要的开折参数.该方法不仅适用于自治系统，同样适用于非自治系统.

动力系统;特征根;分岔参数

奇异性理论是研究约化方程分岔特性的一种有效的方法.利用奇异性理论［1－5］可分析各个开折参数区域内状态变量随分岔参数的分岔情况.但对于实际的动力学系统，往往有很多的参数.通常人们是根据经验选取某一参数作为一个分岔参数.胡海昌［6］利用模态展开法和近似法研究了动力学系统参数摄动引起结构固有振动特性(固有频率和振动模态)变化的问题.William［7］对标准的一阶摄动法进行了改进，用结构修改前的特征向量关于修改后的质量矩阵的内积来代替关于修改前的质量矩阵的内积，从而提高了一阶摄动的精度.陈塑寰等［8－12］对小参数法做了一些补充，并提出了改进方法，如振型一阶导数的高精度截尾模态展开法、混合基展开法等.Seyranian，Mailybaev［13］给出了多参数稳定性理论，详细讨论了参数变化时，系统参数对稳定性的影响.本文将利用该思想给出一种寻找主分岔参数的方法.对于特征根为单根和半简的情况，该方法尤为简单.对于特征根为亏损的情况同样适用.该方法不仅可以识别出主分岔参数，而且按照参数对系统动力特性影响的大小进行排序，同样可识别出主要的开折参数.该方法还可推广到具有周期系数的动力系统中.

1 特征根分析

考虑特征根问题:

式中:A是m×m阶实数矩阵，u是右特征向量.则特征根λ为

式中:I为单位阵.

特征根的重数称为代数重数k.对应特征根的线性无关的特征向量的最大个数称为几何重数kg.通常kg≤k.如果代数重数为k，但几何重数为 1，那么称特征根为亏损的.如果代数重数为 1，则称特征根为单根;如果代数重数为k，几何重数也为k，那么称特征根为半简的.单根和半简根称为非亏损特征根.

1.1 亏损特征根情况

首先考虑亏损特征根λ，其存在k个线性无关的特征向量满足方程:

式中:u0，u1，…，uk－1为长度为 k 的约当链，其中，u0称为特征矢量，u1，…，uk－1为相关矢量.式(3)可写成矩阵形式为

同样可以考虑左特征向量及约当链问题.

式中:v为特征根λ的左特征向量，vT为v的转置.

对于非亏损特征根，其左、右特征向量之间满足正交关系:

1.2 单根情况

如果特征根λ为单根，则存在特征向量u使得

同样，其左、右特征向量之间满足正交关系为

1.3 半简特征根情况

如果特征根为k重半简特征根，则存在k个线性无关的特征向量满足方程:

式(11)可写成矩阵形式为

其左、右特征向量之间满足正交关系为

式中:δij为 Kronecker Delta符号.

对于所有特征根，可计算其约当标准型为

2 动力系统参数变化对特征根的影响

对于一般的自治动力系统，都可将其写为一阶状态方程的形式:

式中:X为状态向量，A为Frechet导数，F(X)为状态向量X的非线性向量函数.

在实际问题中，矩阵A通常都是参数的函数.假设矩阵A光滑依赖于参数矢量p=(p1，…，pn).

2.1 单根情况

设λ(p0)是A(p0)的单根时，计算p0处λ和u对参数p的导数.将式(9)两边对参数求导得

式中:u0为p0处特征根λ0=λ(p0)的右特征向量.式(19)可变形为

其正交条件为

将式(22)两边对系统参数求导得

将式(23)两端左乘v0的共轭矢量v0并与式(20)相加得

G0是非奇异的，于是得

对于单根，通常比较关心的是特征根为0或±iω附近特征根随系统参数变化的情况.

例1 对于Lorenz方程:

显然(x，y，z)=( 0， 0，0)是平衡点，其线性化的系数矩阵为

当(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)时，A有3个特征值 0，－ 3，－ 1.根据式(21)可以求得在(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)附近，特征根λ =0随参数的变化关系为

从式(28)可以看出，在(σ，ρ，β)=( 2， 0，1)附近参数ρ对特征根λ=0的影响最大.

当(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)时，A有3个特征值± iω，－1.根据式(21)可求得(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)附近，特征根λ =iω随参数的变化关系为

当参数变化时，特征根实部影响的是动力系统振动的稳定性及解的拓扑性质，而虚部影响的是振动的频率，由式(29)得:

从式(30)可以看出，在(σ，ρ，β)=(－ 1， 1，1)附近，参数σ对特征根λ=iω的实部影响最大.

2.2 亏损特征根的情况

因为实际工程中经常遇到的是二重零根或二重纯虚根的情况，下面只讨论二重亏损特征根.

设矩阵A(p)，当p=p0时A0=A(p0)有一个亏损的二重根λ0，其左、右特征向量分别为v0，v1和 u0，u1，它们之间满足

且左、右约当链满足:

假设参数是沿着光滑曲线变化的，且

在起始点处曲线的方向为e=(e1，…，en)，即

p(ε)在ε=0处对ε的二阶导数为

沿着曲线p(ε)，可将矩阵A=A(p(ε))展成泰勒级数形式:

由特征根理论知，当参数变化时二重非亏损特征根λ0分裂为两个单根λ.λ和其对应的特征向量的u的Newton-Puiseux级数形式为

将式(38)和式(39)代入到式(1)得

为了唯一的确定特征向量u，选择正交条件为

式中:vT1为左特征矢量，且有vT1u0=1.将式(40)的第2式代入到式(42)可得:

将式(41)的第2式与式(31)相比较得

根据式(44)，可将式(41)的第3式写为

因为A0－λ0I是奇异的，所以w2要有解，只有式(45)右端满足正交条件为

根据正交条件式(32)可得

将式(43)的第4式左乘vT0并利用式(31)、式(32)、式(44)和式(48)得

由正交条件式(43)得:

将式(51)左乘¯v0并与式(45)相加得

例2 以Lorenz系统为例.其线性化的系数矩阵为

当(σ，ρ，β)=(－ 1， 0，1)时，A有3个特征值02，－1.根据式(54)可得特征根λ=02随参数的变化关系为

所以在(σ，ρ，β)=(－ 1， 0，1)附近，参数ρ对特征根λ=02的影响比较大.

2.3 半简特征根的情况

这里只考虑双半简的情况.其满足特征方程:

假设在p=p0时，矩阵A0=A(p0)有两个特征根λ1=λ2=λ，其左、右特征向量分别为v1，v2，u1，u2，它们满足正交关系式(15).可计算式(62)在p=p0处的导数为

从式(67)可以看出，参数p1对特征根变化的影响更大.

3 非自治系统参数变化对特征根的影响

对于非自治系统，通常可以利用平均法或者多尺度法等将其化为自治系统.将系统化为自治系统后，仍可用上述方法来寻找分岔参数.以非线性Mathieu方程来进行说明.方程形式为

采用多尺度法可求得其一阶近似的平均方程为

( 0，0)是式(69)的平衡点，且在( 0，0)处的Frechet导数矩阵为

式(70)的临界特征可能有4种情况: 0，± iω，02，( 0，0).

3.1 有一个0特征根的情况

从式(72)可以看出，参数μ1对特征根λ=0的影响更大.

3.2 有一对纯虚特征根的情况

3.3 有一对亏损0特征根的情况

此时式(75)有一对亏损特征根为λ1= 0，λ2= 0，根据式(54)可求得:

从式(76)可以看出，参数μ1对特征根λ=02的影响更大.

3.4 有两个半简0特征根的情况

这种情况不存在.

从上述分析可以看出，当系统有一个0特征根和一对亏损0特征根时，参数μ1对动力学系统的影响更大;当系统有一对纯虚根时，参数δ对动力学系统的影响更大.

4 结论

1)该方法可以有效地识别出对系统动力特性影响比较大的参数.对于特征根为单根和半简的情况，该方法尤为简单.对于特征根为亏损的情况，该方法虽略复杂，但同样适用.

2)该方法不仅可以识别出主分岔参数，而且按照参数对系统动力特性影响的大小进行排序，同样可识别出主要的开折参数.

3)该方法还可推广到具有周期系数的动力系统中.对于有外激励的非自治系统，可以用平均法、多尺度法将其化为自治系统，同样可用该方法识别出对系统动力学行为影响比较大的主参数.

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［13］SEYRANIAN A P，MAILYBAEV A A.Multiparameter Stability Theory with Mechanical Application［M］.Singapore:World Scientific，2003.

A method to find the main bifurcation parameter of dynamic system

QIN Zhao-hong，CHEN Yu-shu

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China，zhh-qin@163.com)

To study the change of bifurcation properties of the system with structural parameters，a method to find the main bifurcation parameter of the dynamic system is presented in this paper.After disturbing the eigenvalue of Frechet matrix，the main bifurcation parameter is found.Different algorithms are given for different eigenvalue forms.The bifurcation parameter which has appreciable effect on dynamic characteristics of the system can be effectively identified from multiple parameters.And the unfolding parameters can be identified as well according to the effects of parameters on the system.This method can not only be used in autonomous systems，but also in nonautonomous systems.

dynamic system;eigenvalue;bifurcation parameter

O322

A

0367－6234(2010)05－0716－05

2009－04－01.

国家自然科学基金重点资助项目(10632040).

秦朝红(1979—)，女，博士研究生;

陈予恕(1931—)，男，教授，博士生导师.

(编辑 张 红)