白红梅 吴淘锁

1.呼伦贝尔学院数学科学学院;2.呼伦贝尔学院物理与电子信息学院

0 绪 论

Sturm-Liouville问题(简称S-L问题)缘起于19世纪初叶J.Fourier对热传导问题的数学处理中.19世纪30年代,C.Sturm和J.Liouville把Fourier的方法进行了一般性的讨论,他们所得的结果,后来成为解决一大类数理方程(特别是弦和面的振动方程、波动方程、固体热传导方程等)定解问题的基础[1].Sturm-Liouville理论是数学物理,各种力学,物理学和工程技术科学中不可或缺的重要工具.在数学上,Sturm-Liouville理论在20世纪,由H.Weyl及E.C.Titchmarsh等人发展为奇异的对称微分算子理论,成为现代量子力学的主要数学支柱之一.在20世纪60年代之后,以盖尔方特、列维坦等为代表的苏联学派提出并发展了Sturm-Liouville反问题和非自共轭微分算子理论,以及以W.N.Everitt为代表的欧美学派开拓并发展了高微的奇异对称算子理论在现代数学算子的亏指数和谱分解的理论,他们的卓越工作,使得微分算子理论在现代数学中占有了重要的一席.

1 符号记法和基本假设

考虑微分方程

式中p,q,ω是具有实值的Lebesgue可测函数,并且满足1/p,q,w∈Lloc(a,b),w＞0在(a,b)上成立.

事实上在(a,b)上对具有正负值的阶梯函数和正负变化不大的连续函数p,式(2.1)都是成立的.

假设每个端点a,b都是正则或LC(Limit—Circle),结合式(2.1)定义最大算子域:

式中ACloc表示一个在(a,b)上的复值函数,并且在(a,b)的紧子集里绝对连续.

由式(2.1)可知Lagrange双线性型为:

在以下的考虑中:θ,φ表示在Δ上的函数并且满足以下条件:

(1)它们是实值的;

(2)对实数λ,一些在a的邻域内有解,一些在b的邻域内有解,但不需要在a和b附近有相同解,也不需要在区间内部有解;

自共轭边界条件具有两个独立的类别,即分离型和耦合型.前者在每个端点都是独立的,后者在两个端点上是有关联的.

引理1:如(1)的所有自共轭耦合条件在端点是正则或LC的,且具有以下的特征:

似的可有[y,φ](a),[y,θ](b),[y,φ](b).

引理2:固定λ∈￡,对于每个c,d∈￡,对式(2.1)的奇异的LC初值问题:

具有唯一解y,在b上类似.

证明:确定一个实数 λ0,对于δ＞0,在[a,a+δ]上设θ,φ是式(1)的解.为了证明存在性,选择y=dθ-cφ,再证明唯一性.

令u,ν对∀λ在(a,a+δ)上满足式(2.5)的两个条件,u,ν都是(1)的解.再令:

建立:

利用Cramer's法则求解U=φ Z,并注意到上面的性质(3)和(4)可得:

类似可以求解V=φ S可得:

由端点a是正则的或LC,我们可知ω G.

由z1(a)=s1(a),z2(a)=s2(a)可知z=s因此U=V.特别的u=ν.

对于∀λ∈R 对奇异 LC初值问题确定唯一解 u=u(◦ ,λ)和ν=ν(◦,λ)有:

由以上证明,这样的 u,ν是存在的,现在定义一个重要的“判别式”函数:D=D(K,λ).

定义1:令K 满足式(8),并且u,ν的定义见(11),对 λ∈R 定义D(K,λ)为:

2 结论与证明

定理:假设以上假设都成立,则对任意的α,-π≤α≤π,数λ是一个Sturm-Liouville共轭边值问题(1),(4)的特征值的充要条件是

证明 :令:y=y(◦ ,λ)=cu(◦ ,λ)+dν(◦ ,λ)=cu+dν

由式(2.8)可知

因此式(4)成立,当且仅当:

方程式在下列条件下关于(c,d)有非奇异解.

由式(9)可知:

并且k11 k22-k12 k21=1因此

[1]P.B.Bailey,W.N.Everitt,A.Zettl.Regular and singu lar Sturm-Liouville p rob lems with coupled boundary conditions.Proceedings of the Royal society of Edinburgh.126A,505～514,1996

[2]曹之江,阿拉坦仓.常微分方程简明教程.2002

[3]中山大学数学力学系常微分方程组编.常微分方程.人民教育出版社,1979

[4]金福临,阮炯,黄振勋.应用常微分方程.复旦大学出版社,1991

[5]李庆扬.常微分方程数值解法.高等教育出版社,1992

[6]邓宗琦.常微分方程边值问题和Sturm比较理论引论.华中师范大学出版社,1987

[7]曹之江.常微分算子.上海科技出版社,1987