钢筋混凝土环形贮液容器的固有频率

2010-01-25徐杏华

土木工程与管理学报 2010年3期

关键词：将式筒体固有频率

徐杏华

(孝感学院城市建设学院，湖北孝感 432000)

对金属贮液容器与液体耦联振动的研究，已有不少工作。但对钢筋混凝土环形贮液容器的振动问题，到目前为止，尚未见到有关报导。

钢筋混凝土容器(图1)，可以用来盛装各种各样的液体，如石油、汽油、水等，它不仅经久耐用，而且造价低；特别是在地震频发地区，只要容器振动问题解决了，就可以放心建造使用。本文对这类贮液容器与液体耦联弯曲振动的固有频率作了精确研究。

图2 贮液器的计算模型

1 贮液器内液体的运动

设内筒的内外半径分别为r0′和r0，外筒的内外半径分别为R0′和R0，容器内液体深度为h，环体沿y方向作梁式振动，建立图1(b)所示柱坐标来描述液体的运动。

设液体理想、不可压缩、无旋，因而存在速度势函数Φ(r,θ，z,t),满足

(1)

式中，2为Laplase算子。

忽略表面波的作用，Φ满足以下边界条件：

(2)

Φ|z=h=0，

(3)

(4)

(5)

式中，y1=y1(z,t)，y2=y2(z,t)分别是内外筒体沿y方向的位移。

(6)

式中，A、B、C、D、E、F均为待定系数，In(mr)和Kn(mr)分别是n阶第一类和第二类修正Bessel函数。

根据边界条件式(2)～(5)，可得

(7)

利用三角函数的正交性可得

(8)

(9)

由以上二式可得

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

因而得

Φ=

(15)

2 内外筒体振动方程

由式(15)可得沿内外筒体单位高度在y方向的合力：

在内筒体，有

K1(msr0)}cosmsz

(16)

在外筒体，有

K1(msR0)}cosmsz

(17)

式中，ρ是容器内液体密度。

由此可得0～h段内筒体的弯曲振动方程为

(18)

将式(16)代入上式，可得

(19)

式中

(20)

(21)

式(19)可写成

(22)

式中

(23)

从式(22)可以看出，液体对0～h段内筒体振动的影响，相当于在内筒上附着一广义质量m1(z)。

0～h段外筒体的弯曲自振方程为

(24)

将式(17)代入上式，可得

(25)

式中

(26)

(27)

式(25)可写成

(28)

式中

(29)

从式(28)可以看出，液体对0～h段外筒体振动的影响，相当于在外筒上附着一广义分布质量m2(z)。

容易得到，h～H段内筒体的振动方程为

(30)

h～H段外筒体的振动方程为

(31)

3 容器振型函数及固有频率

由微分方程理论，可知式(22)的齐次通解为

Y1,1=D1cosk1z+D2sink1z+D3chk1z+D4shk1z

(32)

式(22)的非齐次特解为

Y1,2=

(33)

同样可得式(28)的齐次通解为

Y2,1=C1cosk2z+C2sink2z+C3chk2z+C4shk2z

(34)

式(28)的非齐次特解为

Y2,2=

(35)

式(30)的通解为

Y1′(z)=D1′cosk1z+D2′sink1z+D3′chk1z+D4′shk1z

(36)

式(31)的通解为

Y2′(z)=C1′cosk1z+C2′sink1z+C3′chk1z+C4′shk1z

(37)

综合以上分析可得内外筒体的位移函数分别为

(38)

(39)

将式(38)代入式(13)，可得

G1s=D1I1s+D2I2s+D3I3s+D4I4s+

(40)

将式(38)代入式(14)，可得

G2s=C1I1s′+C2I2s′+C3I3s′+C4I4s′+

(41)

以上两式中

(42)

由式(40)和(41)，可解出G1s=G1s(D1,D2,D3,D4;C1,C2,C3,C4)，G2s=G2s(D1,D2,D3,D4;C1,C2,C3,C4)，(s=1,2,3,…)，它们均是Di和Ci(i=1,2,3,4)的线性函数，所以Y1(z)和Y2(z)也均是Di和Ci(i=1,2,3,4)的线性函数。

Y1(z)与Y1′(z)以及Y2(z)与Y2′(z)的联接条件分别为

(43)

(44)

内外筒体的两端(z=0,z=H)各可提出四个边界条件，如一端(z=0)固支，一端(z=H)刚性封闭(盖)，有

(45)

(46)

两端其它可能条件就不一一列举了。

由内外筒体的联接条件式(43)和(44)以及边界条件式(45)和(46)共可得到16个关于Ci、Ci′、Di、Di′(i=1,2,3,4)的齐次线性代数方程组，令系数行列式之值为零，则可得关于固有频率的非线性代数方程，利用非线性代数方程的求根法，就可得ω及相应的各常数Ci、Ci′、Di、Di′(i=1～4)的相对比值，再将ω及各相应常数代回式(38)和(39)，即得内外筒体的振型函数。