徐长伟,郝淑双

( 1.中原工学院 理学院 河南 郑州 450007;2.黄河科技学院 河南 郑州 450063)

房地产是支撑中国经济的重要组成部分，是GDP增长的直接推动力，也是地方经济的主要贡献者，土地出让金约占地方财政收入的一半左右.但是近几年来，房价越来越高，已成为关系国计民生的重大问题，2009年12月份以来，国务院连续出台抑制房价过快增长政策，使得房价这个热点问题成为众矢之的.人们不免要关心房价的宏观预测与微观预测以便采取相应的决策.本文应用马氏链理论建立模型，类似股市中的技术分析，仅从理论上尝试性地预测短期内房产销售定价问题.

1 马氏链理论

定义1 设随机过程Xn(n∈T)的时间集合T={1,2,3,…}，状态空间E={1,2,3…k}，即Xn(n∈T)是时间离散、状态离散的随机过程.若对任意的整数n∈T，满足

P{Xn+1=xn+1|Xn=xn,…,X0=x0}=
P{Xn+1=xn+1|Xn=xn}

(1)

则称Xn(n∈T)为马尔可夫链，简称马氏链.(1)式称为过程的马尔可夫性或无后效性.它表示随机过程在每一时刻的状态仅仅取决于过程在前一时刻的状态，而与这之前的状态无关.

定义2 称条件概率Pij=P{Xn+1=i|Xn=j},i,j=1,2,…,k为马氏链Xn(n∈T)的单步转移概率，简称转移概率.记矩阵P=(Pij)k×k为转移概率矩阵.记ai(n)=p(Xn=i),i=1,2,…,k,n=0,1,…,ai(n)称为状态概率,满足∑ki=1ai(n)=1.a(n)=(ai(n),a2(n),…,ak(n)称为状态概率向量.

马氏链的基本方程为：

ai(n+1)=∑kj=1aj(n)pji,i=1,2,…,k

矩阵表示为：

a(n+1)=a(n)p或a(n)=a(0)Pn

(2)

定义3 一个有k个状态的马氏链如果存在正整数N，使得从任意状态i经N次转移部以大于零的概率到达状态j(i,j=1,2,…,k)，则称为正则链.

定理1 若马氏链的转移矩阵为P，则它是正则链的充要条件是存在正整数N使PN>0.

定理2 正则链存在唯一的极限状态概率w=(w1,w2,…,wk)，使得当n→+∞.时状态概率a(n)→w，w与初始状态概率a(0)无关.w称为稳态概率.满足wP=w,其中w满足∑ki=1wi=1,wi≥0.

商品住宅销售量和价格都是依赖于时间T的随机变量，是随机过程，商品住宅销售量和价格在时刻t(t>T)所处的状态都只与时刻t的状态有关，而与t时刻以前所处的状态无关，具有无后效性，以房价为例，即下月的房价只受本月房价的影响，而认为上月的房价对下月的房价无关.又因为商品住宅每月的均价是可列个状态a1,a2,a3,…, 而且只在t1,t2,t3,…可列个时刻发生状态转移，故商品住宅销售量和房价的变化过程是马尔可夫链.

2 商品住宅价格预测

下面是2009年12个月郑州商品住宅每月销售均价如表1.

表1 2009年郑州商品住宅销售均价表

我们将价格分为四个区间3900～4300，4300～4500，4500～4700，4700～4900，每个区间算作一个状态，其状态空间为(1，2，3，4)，由表1可得表2.

表2销售均价状态分类表

设郑州商品住宅每月销售均价为Xn(n=1,2,3,…)，则Xn为离散时间马氏链.利用表2我们可以构造单步状态转移矩阵

P=(0100

120012

003414

002313)

由(2)式可得两步状态转移矩阵

P=(120012

0121316

0035481348

001318518)，

利用Matlab可类似求得p3，p4，p5，p6，p7，p8，p9，p10，p11，p12.

利用马氏链基本方程和不同的初始状态，我们可以得到2010年1月份商品住宅价格的状态概率分布如表3.表3的编制方法为：表 3中月序号为2009.12的第一行起始状态为 3，转移步数为 1，则在一阶转移矩阵中取第三行；月序号为2009.11的第二行起始状态为4，转移步数为2，则在二阶转移矩阵中取第四行，依次类推．然后求和，最后用合计栏中的数字除 12 ( 12为表中所有的转移步数的种数)，即得到平均概率分布栏．

表32010年1月份商品住宅价格的状态概率分布预测表

表3说明：起始月序号为2009.12的第一行中右边的状态概率分布栏，即为由2009.12的状态通过一步转移得到的2010.01的概率分布．第二行即为由2009.11的状态通过二步转移得到的2010.01的概率分布．依次类推，最后一行得到2010.01的平均概率分布为(0.0078，0，0.7173，0.2749)．

由平均概率分布可以确定如下的定价策略：预测2010年1月份

最低房价为：3900*0.0078+4500*0.7173+4700*0.2749=4550(元)，

最高房价为：4300*0.0078+4700*0.7173+4900*0.2749=4752(元)，

房价的期望值(平均值)为：(4752+4550)/2=4651(元).

我们也可以进一步缩小价格区间将状态空间划分得更多一些，这样可使得预测值更精确.另外，也可以对房价做长期预测，由定理1状态转移矩阵P为正则链，故存在稳态概率，由稳态概率a(n+1)=a(n)P及定理2w=wP，可解得w=(0,0,811,311).由此我们可计算远期房价的期望值为4655元.但长期预测有很大的缺点，在受政策，利率等重大影响时不适用.

类似的，我们可以按照上面的马氏链模型，对郑州商品房月销售量作出下面短期的预测.

3 销售量预测

下面是2009年12个月郑州商品住宅每月销售量如表4.

表42009年郑州商品住宅销售量表

我们将月销售量分为六个区间，每个区间为一个状态，其状态空间为(1，2，3，4，5，6)，由表4可得表5如下.

表5销售量状态分类表

设郑州商品住宅每月销售均价为Yn(n=1,2,3,…)，则Yn为离散时间马氏链.利用表5我们可以构造单步状态转移矩阵

P=(0.500.500

00001

0230130

00010

0013023)

利用Matlab可类似求得p2，p3，p4，p5，p6，p7，p8，p9，p10，p11，p12.与表3类似，我们可以得到2010年1月份商品房销售量的状态概率分布如表6.

表62010年1月份商品住宅销售量的状态概率分布预测表

由表6可以看出，2010年1月份销售量最可能落在状态4(85～90)，我们用已知数据来代替区间的中值和加权方法可以更准确的得到一月份销售量的期望值(均值)：(32.89+45.22)/2*0.000058+79.2*0.0576+(84.35+84.58+80.09)/3*0.16086+85.55*0.4118+(92.83+90.31+90.5)/3=87.2143(万)

4 结语

由商品住宅销售均价表(表1)、销售量表(表2)以及一月份均价与销售量的预测结果，易求得每月的平均收益.从月平均收益出发，我们还会发现，在外部因素没有明显变化的条件下，房价与销售量不会发生明显变化，即房价微涨或微跌时，销售量变化不明显，而受政策影响下，房价跌幅较大，销售量放亮，平均收益翻倍.当然这些尝试性的预测结果仅对短期预测起一定作用，从长远来看，由于房地产受政策、利率、税收等多方面外界环境和经济形势的影响，房价和销售量往往起伏较大，在这种情况下马氏链状态的划分对最终预测结果影响将非常大，该模型在划分状态时需要大量的数据，这就要求资料比较多，所以该方法对于月份的销售量预测较好，因为月份销售量具有连续性，而相对年份预测时数据资料时间较长时，数据相关性较差，具有不足之处.

参考文献：

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[4]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2003.