杨俊林

(泰州师范高等专科学校，江苏 泰州 225300)

《高等几何》是高等师范院校数学教育专业一门重要的专业基础课程.人们由于习惯了欧氏几何的观念，射影平面上那种“将无穷远点与普通点同等看待”的观念实在难以被学生“观念认同”，因而该课程就成为了“数学专业课程体系中最难教、最难学的课程之一”.[1]笔者从06年开始承担《高等几何》课程的教学任务，教过三轮，对该课程教学在理念与实践两方面都作过深入的探索与思考，取得了较好的教学效果.本文将对此作简要介绍.

1 理念层面

1.1 坚持“以人为本”

无论是义务教育课程标准，还是高中教育阶段课程标准其核心理念都是“以人为本”.因而，高等教育课程大纲的编写也应坚持“以人为本”的理念.《高等几何》课程中蕴含着极为抽象的数学思想，在教学中的主要矛盾就是学生的理解力与课程的抽象性之间的矛盾，如果教师无视这一矛盾的存在，学生失去的将不仅仅是对内容的理解，而是对本课程的感受及学习愿望，这是非常可怕的.高等教育与初等教育不同，不少学生只着眼于课程考试，考试过关也就意味着课程学习的结束.由于命题权一般在授课教师手中，因而大部分学生应付考试并不困难，但通过考试并不意味着领会了课程的精神实质.如果说教师吃的是良心饭，这在高等学校更能集中体现.高校数学教师决不能让学生在一次次痛苦难熬的过程中“通过”一门又一门的课程，带着一颗对数学十分厌恶的心走上中学数学讲台.努力让学生理解《高等几何》中的知识点是坚持“以人为本”的第一要务.其次，本课程的教学还应努力帮助学生提高理解的层次性，形成可持续发展的能力.数学专业的课程体系严密，课程之间联系紧密，《高等几何》中的不少思想观念在后续课程中仍有重要体现.在教学中，如果仅满足于浅层次的理解其知识点而不帮助学生提高理解的层次性，使课程中的基本观念内化为学生自己的观念，则对学生的后续学习是极为不利的.再次，应着眼于使学生能以较高的观点审视中学几何教材，提高他们处理中学几何教材的能力.诚然，对高专学生来说，进一步从事数学研究的可能性不大，但更多的学生将从事初等数学的教学与研究.因而在本课程的教学中，着眼于提高学生审视初等几何问题的能力也是坚持“以人为本”的重要内容.

1.2 将“变换群”思想贯穿教学始终

任何一门课程的学习都务求把握其精髓.要把握《高等几何》这门课程的精髓必须弄清它与欧氏几何之间的关系.在Klein变换群观点下，可以清晰地看出欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系.根据Klein的观点，几何学是研究在相应变换群下图形保持不变的质和量的科学.每一种几何对应着一个变换群，在某种变换群下保持不变的性质和量，就构成这种变换群下的几何学.因而射影几何就是研究在射影变换下不变性和不变量的几何学；仿射几何就是研究在仿射变换下不变性和不变量的几何学；而欧氏几何学就是研究在正交变换下不变性和不变量的几何学.全体正交变换构成正交群，它是仿射变换群的子群，而仿射变换群又是射影变换群的子群.有了对高等几何学与欧氏几何学关系的认识，在教学过程中就更有助于学生理解：在射影变换下，点与直线的结合性保持不变，直线上四个不同点的交比保持不变；在仿射变换下，点与直线的结合性、两直线的平行性保持不变，简单比保持不变，且无穷远直线仍变换为无穷远直线；而射影几何与仿射几何这两者之间的根本区别又在于射影平面上无穷远点与普通点是“平等”看待，仿射平面上则不然；在正交变换下，点与直线的结合性、两直线的平行性、正交性保持不变、距离与角度保持不变，无穷远直线、虚圆点仍变换为无穷远直线、虚圆点.

在教学中，始终坚持运用“变换群”的观点，有助于学生从整体上理解几何学的内容，把握几何学的精髓，有利于他们在更加广阔的背景上理解初等几何内容，指导初等几何教学.

2 实践层面

《高等几何》课程教学改革是一个系统工程.理念层面的问题解决后，关键在于实践层面.实践层面主要解决教材编写、教学方法、学习评价等问题.教材编写解决“教学内容的呈现方式”，教学方法解决“如何开展有效教学”，而学习评价不仅是对教学成果的检测，更是对教学实践活动的反思，是对“教什么”与“怎么教”的追问.

2.1 关于教材编写

2.1.1 以“教育形态”呈现《高等几何》内容

当前，中小学数学教学改革在数学内容的呈现形式上已初步形成共识：即应防止两种极端倾向——去数学化的“情境式”与严密的“学术态”，应在保持数学“特质”下将学术形态的数学转变为数学的教育形态.提出上述观点的代表人物是华东师范大学的张奠宙先生.张先生认为：中小学教育是基础教育，虽然有一些优秀的学生可以轻松地跨过“抽象”的门槛，严密地按照形式化的叙述把握数学的含义，但还有相当多的学生不能接受这样的数学，他们总是把数学看成是“天书”，与自己的思维挂不上钩.张先生所说的中小学数学教学中的现象在高等专科学校数学教学中又何尝不存在？！高专师范专业学生数学天赋一般者占绝大多数，而《高等几何》课程历来被认为是一门难教难学的课程，有人称它为“头痛几何”[2].不少版本的高等几何教材学术性很强，如果在教学过程中教师不善于转化，学生是很难接受的.以仿射变换为例，若按现行教材照本宣科，再让学生处理相应习题时发现，不少学生对“建立坐标系{A;AB,AC},其中令A(0，0)，B(0，1)，C(1，0)”无法理解.究其原因，学生未能真正把握仿射变换的实质：仿射变换下元素的结合关系及共线三点的简单比不变.而从“仿射标架”到“仿射坐标系”、“仿射平面”，然后探究坐标变换式的“学术”线索的教材呈现形式是不利于学生把握仿射变换的实质的.教材仅是课堂教学中师生对话的“媒介”，高等教育不同于初等教育，高等教育更强调学生的自主学习，何况每节内容都要求授课教师进行深度教法处理对教师也是一个很大的挑战.因而改变教材内容的呈现方式，增强教材的可读性显得十分重要.仍以仿射变换为例，笔者在自编讲义中就作过如下尝试：(1)从一道平面几何问题谈起.题目：连接三角形一个顶点与对边三等分点，过另一顶点的三角形的中线被这些线段依次分成连比x:y:z.求x:y:z的值.1)试用综合法与解析法求解;2)画有上述图形的透明玻璃板在阳光照射下的影像中相应线段的比值x′∶y′∶z′将发生怎样的变化？你能得到什么结论？3)采用解析法时可否设A(0，0)，B(1，0)，C(0，1).(2)介绍仿射标架、仿射坐标系、仿射平面与仿射变换.实践表明，学生通过阅读上述材料再结合教师的讲解，学生对选定三点A(0，0)，B(0，1)，C(1，0)建立仿射坐标系没有疑虑.究其原因，上述内容呈现方式是从学生原有知识结构出发，将学术形态的“仿射变换”转化为教育形态，扫除了学生理解上的障碍.

再以“交比”内容的编写为例.现行几种版本的教材都是从“单比”出发，先讨论共线四点的两个单比之比，从而给出交比的定义，接着研究交比的性质，然后在研究射影变换时再交待射影变换的不变量是“交比”.这样的编写方式至少存在两方面的问题：一是学生对刚开始研究“交比”没有充分的心理准备，“交比”概念以“空降”方式投给学生，学生感到茫然，缺少学习“交比”的心理需求，因而教学效果不好；二是对“在射影平面上建立坐标系需要四个点”无法理解.笔者编写的讲义以如下方式呈现：(1)展现一生活情境并提出问题.两名画家对同一风景写生，由于视角不同，画出了两张不同的风景图画.但人们能从中判断出这两张不同的风景画取材于同一风景，这是为什么？(2)对上述情境作初步抽象.两个画家对同一长方形框写生，画出的四边形其形状仍然是长方形吗？为什么看上去还是一个长方形框？而且能看出这两个画家是以同一长方形框为实物画出的图案？(3)呈现点透视相关知识点，同时给出下面一道思考题:两个四边形ABCD、A′B′C′D′是同一长方形在同一点透视下两个不同平面内的像.已知点P是平面ABCD上的一点，如何确定平面A′B′C′D′内的对应点P′?(4)介绍共线四点的“交比”后引导学生解决上述问题.

上述内容的呈现方式从生活情境出发引导学生不但抽象出射影变换的概念，而且给学生思想深处留下“变化之中必有一不变的东西”，为“交比”概念的出现奠定基础，使学生产生学习“交比”的强烈欲望.通过解决(3)中提出的问题，也为学生能深刻地理解“在射影平面上四点可以确定一个射影变换”奠定基础.

2.1.2 立足于高观念下对初等几何的审视

对高专学生而言，学习高等几何的重要目的是帮助学生在高观念下审视初等几何问题，提高分析处理中学数学教材的能力.不少人认为只要学过高等几何，学生就会自觉地运用所学过的知识去审视初等几何问题.其实不然，只有在学生深刻领会高等几何思想观念的基础上这种自觉性才能表现出来.而要深刻领会，在教学过程中引导学生加强与初等几何的联系则是重要途径之一.因而在教材编写过程中，通过增加相应例习题来加强这种联系就显得十分必要.

例1 在仿射映射一节编写如下例题或习题:(1)用仿射映射的观念解释初中几何中平行线截得比例线段定理.(在仿射映射下，平行线截得比例线段定理所反映的就是仿射映射保持简单比不变);(2)用仿射变换的方法推导椭圆面积公式.(考察椭圆与一长方形，在同一压缩变换下，椭圆变为圆，长方形变为另一长方形.由于在仿射变换下，两封闭图形的面积之比保持不变，可以推导出椭圆面积公式.进一步也可以得到，椭圆与圆在仿射变换下可视为同一类曲线);(3)用仿射变换的观念思考下面的问题：如图1(a)，已知平行四边形ABCD的边AB、BC上各有一点E、F，且EF∥AC.试证明△AED与△CDF的面积相等.

考虑到仿射变换保持简单比及两封闭图形面积比不变，故可将平行四边形转化为正方形(如图1(b))，通过证明S△A′E′D′=S△C′D′F′来说明S△AED=S△CDF.对本题的思考应引导学生感悟“在仿射平面上平行四边形与矩形为同一类四边形.”

例2 在“交比”一节“完全四点形定理”后可编写下面的例题:运用完全四点形定理证明：四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形一条对角线平行，则另一条对角线的延长线必平分对边交点连成的线段.本题是1978年全国数学联赛决赛中的一道题，是一道以射影几何中完全四点形定理为背景的试题，显然可以运用初等方法进行证明.通过对本题的研究，引导学生明确高等几何与初等几何的关系，获得驾驭初等几何教学内容的本领.

例3 在介绍Pascal与Brianchon定理后给出问题：为什么不共线的三点确定一个圆？在介绍过二阶曲线的仿射与度量性质后给出问题：为什么椭圆与抛物线没有渐近线？为什么抛物线只有一个顶点，一个焦点和一条准线？

上述问题运用初等方法是很难说清的，但运用高等几何知识可以得到准确的回答.这对提高学生高观念下审视初等几何的能力大有裨益，也有助于学生更加深刻地领悟高等几何的思想，提高自身的数学修养.

2.2 关于教学方法

提及数学教学方法的研究往往专指中小学数学教学.仿佛高等数学教学除了“满堂灌”外，无其他方法可言.其实不然，高等学校数学教学也应研究教学方法以提高课堂教学效率.在高等几何教学中，关于教学方法笔者提出如下两点.

2.2.1 搭建共享平台，加强数学交流

数学交流的实质是信息沟通、思想共享和意义生成，其根本作用在于促进学生的数学理解.随着年级的增高，同学之间的学业交流越来越少，除了教师的讲解，更多的就是个人的沉思默想.数学学习固然需要主体的静思默想，但大学课程中不少知识内涵、思想仅凭个人的孤军作战往往理解效果不佳.不同的人对某一知识点的理解角度、深度往往不同，数学交流有助于推动思想碰撞，而对相应知识点不同角度的理解能促使主体从整体上把握其要领，从而提高理解的深度.同伴对相应知识点更深层次的理解能减少个人静思时间，提高学习效率.在高等几何课堂上可适时组织相应的课堂研讨，为学生搭建一个思想碰撞的平台.笔者在教完仿射变换一章后就组织过一次课堂研讨.对“仿射变换”概念的理解，就有学生提出“在仿射变换下，所有三角形可以不加区分地归为一类”.受此启发很快有学生提出“既然如此，我们在研究三角形中点线结合关系时都可以在等边三角形中进行研究，然后再运用仿射变换还原就可以了”.

对任何数学概念的理解透彻与否都需要丰富的数学现实予以支撑，离开丰富数学现实支撑的数学思想在头脑中一定是不牢靠的、孤立的.数学交流有助于知识之间的联系的加强，有助于认知结构的完善与优化.

2.2.2 加强探究性学习，提高理解的层次性

学习数学需要“理解”，但“理解”是有层次性的.层次越高，主体吸纳知识的方法品位就越高，更有利于丰富、完善认知结构，能更高层次地理解知识.[3]在高等几何教学中，我们发现，不少学生由于在开始学习时不注意提高相关知识理解的层次，以至在以后的学习中越来越被动，最后甚至放弃本课程的学习.例如，在射影几何中，教材首先给出扩大平面的概念，通过引进无穷远点，说明扩大平面上任何两直线都相交.如果学生对这一内容的理解最多只停留在“逻辑性层次”(即对知识能按逻辑顺序排成网络)，而不能上升到“观念性层次”(即对扩大平面达到思想上的认同)，那么学生对后面的内容“射影平面上椭圆、双曲线、抛物线方程的标准方程为同一种，三种曲线是不加区分的”是无法理解的.

加强探究性学习是提高学生对相关内容理解层次性的有效途径之一，因为探究性学习是一种引导学生亲历知识形成过程的学习.在前文中笔者曾介绍过关于“交比”这一内容的呈现形式的改革，其实也是一种教学方法的改革.学生通过一个实际问题的探究，亲历了“交比”这一概念的揭示及其计算、性质的探究过程，从而形成了射影变换下保持不变的几何量是“交比”这一基本观念.

再比如，关于笛沙格(Desargues)定理的学习，讲授教材中相关内容后，学生只能停留在对该定理理解的“逻辑性层次”，在课堂上可以进一步引导学生探究下列三个命题之间的联系：(1)三角形的垂足三角形与原三角形对应边的交点共线；(2)三角形的三内角平分线与对边交点为顶点的三角形的三边与原三角形对应边的交点共线；(3)三角形三边中点连线所成的三角形的三边与原三角形的对应边分别平行.

通过探究可以发现：上述三个命题都是Desargues定理的直接推论.更一般性的结论还有：若三角形三顶点分别与其对边上一点的三连线共点，则由对边上三点组成的三角形的三边与原三角形对应边的交点共线.

学习过Pascal定理与Brianchon定理后，进一步引导学生审视上述结论会发现：如图2，在△ABC三边上各取一点M，N，L，若AM，BN，CL相交于一点，则存在唯一的以M，N，L为切点的△ABC的内切二阶曲线.

对上述问题的深入探究，进一步加强了Desargues定理、点透视与轴透视、Pascal定理与Brianchon

定理、对偶原则等知识点之间的联系，有助于学生加强对知识整体性理解，使其对相关知识点理解的层次性不断提高.

2.3 关于学习评价

任何课程教学改革都无法避开学习评价方式的改革.《高等几何》课程教学其评价方式历来采用闭卷考试的形式.通过若干道与学生平常作业类似的填空、选择、计算与证明题来检查学生对本课程的学习情况，其结果往往是学生通过了考试却不知《高等几何》课程到底讲的是什么.这里有一个评价标准的问题(仍然可以归结为课程教学的理念).《高等几何》课程学习评价到底是以会做几道题为标准，还是以观念的形成为标准？课程教学改革应坚持学生的可持续发展的理念.仅管闭卷考试的方式也可以从一个侧面反映学生对相关观念的形成情况，但一者要对题目本身进行客观评价，二者不少类型的题目只要求写出结果，掩盖了解题的过程，很难反映学生是否领悟了高等几何的基本思想.既然如此，就必须对传统的评价方式进行改革.在实践中，我们尝试过(或思考过)如下几种方式：

(1)口试加笔试式.首先对学生进行统一笔试.笔试题型以解答题为主(包括计算与证明)，既有常规题，也给出一定数量的开放性试题(条件开放或结论开放，或条件与结论都开放).相关知识点不要求面面俱到，但高等几何中的基本思想方法都能有所涉及.笔试结束后，教师在批阅的基础上对每位学生进行逐个口试.口试以笔试题为“话题”，对观念层面的“习得性”进行考核.口试克服了笔试在语言组织上的自由度小及针对性不强等不足，对学生的考核更全面、更客观.

(2)课程论文式.对平时学习较好的学生，可以通过撰写课程论文的方式代替课程考试.教师按毕业论文的规范对学生选题、开题、写作进行指导.论文写作完成后进行答辩.这种方式克服了考查再现性知识随考随忘的弊端，将落脚点放在课程观念的掌握上.在前两届学生中，曾有8名学生毕业时撰写高等几何方面的论文，论文质量较高，对这类学生完全可以免除笔试.

参考文献：

[1]郭飞,周兴和.《高等几何》“立体式”教学模式的探索[J].数学教育学报,2008(6):75-77.

[2]罗崇善.编写国家级重点教材《高等几何》的思考[J].四川师范大学学报,2001(11):647-649.

[3]于新华,杨之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报,2005(5):23-25.