杨宏军

一次函数的图像,可以直观地确定出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集及二元一次方程组的解等问题。可以体会到方程(组)、不等式的解及二元一次方程组的解与图像上点的坐标密切关系,可品味出数学结合思想的内在的魅力。下面举例说明如下:

例1 一个物体现在的速度是5m/s,其速度每秒增加2m/s,再过几秒它的速度为17m/s?

[解]方法一:设再过x秒物体速度为17m/s.由题意可知:2x+5=17解之得:x=6。

方法二:速度y(m/s)是时间x(s)的函数,关系式为:y=2x+5。当函数值为17时,对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6。

方法三:由2x+5=17可变形得到:2x-12=0。

直线y=2x-12与x轴的交点为(6,0)。得x=6。

说明:这个题我们通过三种方法,从方程、函数解析式及图像三个不同方面进行解答.它是数与形的完美结合,结果是相同的,这就是特途同归。

例2.用画图像的方法解不等式2x+1>3x+4

分析:(1)可将不等式化为-x-3>0,作出直线y=-x-3,然后观察:自变量x取何值时,图像上的点在x轴上方?或(2)画出直线y=2x+1与y=3x+4,然后观察:对于哪些x的值,直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方? 解:方法(1)原不等式为:-x-3>0,在直角坐标系中画出函数y=-x-3的图像。从图像可以看出,当x<-3时这条直线上的点在x轴上方,即这时y=-x-3>0,因此不等式的解集是x<-3。

方法(2)把原不等式的两边看着是两个一次函数,在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4,从图像上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3,因此当x<-3时,对于同一个x的值,直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应点的上方,此时有2x+1>3x+4,因此不等式的解集是x<-3。两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解。

例3 两种移动电话计费方式如下:

全球通 神州行

月租费50元/月0

本地通话费 0.40元/分 0.60元/分 如何选择计费方式更省钱 ?

解:设一个通话时间累计为x分,全球通与神州行两种计费差额为y元,则y随x变化的函数关系式为:

y=(0.40x+50)-0.60x

化简为:y=-0.20x+50

在直角坐标系中画出这个函数图像。

计算出直线y=-0.20x+50与x轴的交点为(250,0)。

当00,即选神州行省钱。

当x=250时,y=0,即选神州行与全球通没有区别。

当x>250时,y<0,即选全球通省钱。

例4.已知直线y=(1-3k)x+2k-1。

(1)k为何值时,直线经过原点;

(2)k为何值时,直线与y轴的交点坐标是(0,-2);

(3)k为何值时,直线与x轴的交于( ,0);

(4)k为何值时,y随x增大而增大;

(5)k为何值时,直线与直线y=-3x-5平行? (

研析:此题综合考查了一次函数的基本性质:(1)直线过原点 2k-1=0。(2)直线与y轴交点为(0,-2)。当x=0时,y=-2。(3)直线于x轴交于(3/4 ,0)当x= 时,y=0.(4) y随x增大而增大,1-3k>0。(5)直线与y=-3x-5平行 1-3k=-3. )。

解:

(1)当2k-1=0,即k= 时,直线经过原点。

(2)当x=0时,y=-2,即2k-1=-2,k=-时,直线与y轴的交点坐标是(0,-2)。

(3)当x=时,y=0,即0= (1-3k)+2k-1,k=-1.当k=-1时,直线与x轴交于( ,0)。

(4)当1-3k>0,即k< 时, y随x增大而增大。

(5)当1-3k=-3,即k= 时,直线于y=-3x-5平行。

说明: 对于直线y=kx+b,直线过原点 b=0, y随x增大而增大(减小)k>0(k<0);与另一直线y=mx+n平行 k=m。

把数与形有机地结合起来思考问题、解决问题,有时会取得非常良好的效果,这种数形结合的思想方法是讲解一次函数图像的一个主线。□

(编辑/李舶)