巫朝霞,刘卫霞

(1.新疆财经大学应用数学学院,新疆乌鲁木齐 830011;2.中国人民大学经济学院,北京 100872)

关于代数多项式的一个积分表示式

巫朝霞1,刘卫霞2

(1.新疆财经大学应用数学学院,新疆乌鲁木齐 830011;2.中国人民大学经济学院,北京 100872)

研究了代数多项式导数的Bernstein不等式和M arkov不等式.通过代数多项式导数的一个积分表示式,给出这两个著名不等式以及它们的离散形式的证明.

代数多项式；Cauchy积分公式；Bernstein不等式；M arkov不等式

1 引言

本文中用Πn表示n次复系数代数多项式全体,用Tn表示n次复系数三角多项式全体.用D表示单位圆盘{z:|z|≤1},用∂D表示单位圆周{z:|z|=1}.对于p∈Πn用‖p‖D和‖p‖C[−1,1]分别表示多项式p(z)在D上和区间[−1,1]上的上确界范数.有如下的著名Bernstein不等式和M arkov不等式:

1941年,文[2]首先提出Markov不等式中的上界不必是|pn(z)|在整个区间[−1,1]上的上确界,可以改进为|pn(z)|在区间[−1,1]上的一些离散点上的上确界.这就是

定理DC[2]设pn(z)∈Πn,那么

其中c是常数,Cn(z)=cosn arccosz,z∈[−1,1],是第一类Chebyshev多项式(参见文[1]).

1985年,文[3]对Bernstein不等式进行了相应改进,得到如下不等式:

定理FRR[3]设pn(z)∈Πn,那么

2 几个引理

2 定理的证明及其推论

参考文献

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[2]Duffin R J,Schaeffer A C.A refinement of an inequality of the brothers Markoff[J].Trans.Amer.Math. Soc.,1941,50:517-528.

[3]Frappier C,Rahman Q I,Ruscheweyh St.New inequalities for polynomials[J].Amer.Math.Soc.,1985,288: 69-99.

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[6]Dryannov D.Quad rature formulaewith free nodes for periodic functions[J].Numer.Math.,1994,67:441-464.

A integral rep resen tation of algeb raic polynomials

WU Zhao-xia1,LIUWei-xia2

(1.School of App lied Mathem atics,X in jiang University of Finance and Econom ics,U rm q,830011 China; 2.School of Econom ics,Renmin University of China,Beijing,100872 China)

In thispaper,we discuss the Bernstein’s inequality and Markov’s inequality for algebraic polynomials and its derivative.By using the integral representation for polynomial and its derivative,we give another proof of the discrete Bernstein’s inequality and asimilar outcome of Markov’s inequality.

algebraic polynomials,Cauchy integral formula,Bernstein’s inequality,M arkov’s inequality

O174.42

A

1008-5513(2009)02-0325-07

2008-06-10.

国家自然科学基金(10671155).

巫朝霞(1975-),硕士,讲师,研究方向：主要从事高等数学的教学与研究.

2000M SC:41A 10,41A 25