马晓东

高度抽象是数学的本质属性。由于数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式，它就必须是从现实的物质外壳中抽象出来的共性，所以一开始从自然数的诞生，数学便开始了抽象的过程。发展到今天，数学更是在高度的抽象性上越走越远。可以说没有抽象，就没有数学。

高中学生的数学思维主要有三种形式：形象思维、抽象思维和灵感思维。

形象思维又叫直观思维。它的思维特征是具体、直观。它有两个层次：一个是在抽象思维产生前的初级直观形象；另一个是在抽象思维之上的高级的理想形象。对于一个中学生来说，形象思维过程往往与具体的事物、图表、符号等相联系，很多人的想象思维处于初级层次。例如，学习平面几何时，他们往往与三角形、四边形、圆这些具体实物进行对比联想。学习集合论时，他们往往借助于韦恩图思考集合间的各种关系。学生有了对“初形”的感知，教师就要引导学生建立抽象思维，把概念理想化，建立理想的形象与结构，这便是高级的形象思维。

那么，教师怎样使学生由初级的直观形象形成高级的理想形象呢?首先，数学教师在教学中，要充分利用教具，进行实物教学，使学生建立直观形象。学生既动手又动脑，必然在他们的脑海中留下较深的直观烙印。然后教师引导学生将所得到的结论条理化、系统化、概念化，从而抽象出同一类事物的本质属性。例如：两城市间的距离抽象成一条线段，一块砖头抽象成一个长方体等，学生只要善于这种抽象，就可以说他已形成较简单的高级形象思维。

抽象思维是数学思维中常见的思维形式，它以严密的逻辑推理为基础，包括概念、判断、推理与证明等基本形式。成绩好的学生能把一个数学题迅速准确地解答出来，我们就说这个学生的抽象思维能力强。反之，如果学生不能把一个数学题准确地解答出来，我们就说这个学生的抽象思维能力差，学得死板，不能把老师传授的知识抽象概括成自己的知识，从而形成解题的能力。因此，教师在教学中要有意识地培养学生的抽象思维能力，让抽象思维贯穿于数学教学的始终。我认为中学平面几何，是培养学生抽象思维能力的最好教材，教师通过对几何题目的分析、证明和总结，是培养中学生抽象思维能力的重要途径。

当然，抽象思维不是孤立的，它的基础是初级的形象思维。学生在形象思维的基础上，不断地总结、概括和提炼，从而形成规律性的认识，这便是抽象思维。反过来，抽象思维中的很多理论又将回到具体的直观现实中得到检验和印证，从而形成高级的形象思维，以指导学生的学习和实践。

灵感思维又叫顿悟，它是数学思维的又一种形式，它往往在我们“不注意的时候突然产生”。灵感思维是人类思维的质变过程，有时它看来毫无逻辑可言，表现为偶然的灵感，可仔细想来，它仍然建立在长期大量的抽象思维和形象思维的基础上，压缩了许多逻辑过程，采取了跳跃的形式。它是人们思维形式中非常重要的一种，而且是高级的形式，它对数学的发现起着十分重要的作用。

高中学生的思维中也有灵感思维的成分。在学生的作业中，我们常常会看到学生的有些解法非常巧妙、出奇制胜，这便是学生在做题时产生的“灵感”。在几何证明中，有时我们看到学生在做题时眉头紧锁，百思不得其解，当他突然想到引用什么定理或添加什么样的辅助线时，问题便得到了解决，真是“众里寻它千百度，暮然回首，原来她在灯火阑珊处”。这时一种成功的愉悦会使他们高兴得手舞足蹈，这就是灵感。如果学生在学数学时，经常有灵感产生，学生就将对数学产生浓厚的兴趣。因此，作为数学教师在教学中要注意培养学生的灵感思维，对例题不能讲得过死，对学生的作业不能事先提示，要求学生千篇一律，一个解题模式，这样不利学生产生灵感。

虽然灵感思维是在我们“不注意的时候突然发生”的，但它绝不是“空中楼阁”。第一，它往往发生于长期对于某个问题的思索与研究，必须积累丰富的有关知识，特别是有关失败的教训。第二，灵感思维还要求有广泛的知识面，有时表面上看来与问题无关的知识也十分重要，要有广博的知识基础。费尔玛是一位法官，但他却发现了数学中著名的“费尔玛大定理”。第三，灵感思维必须有极大的热情，以兴趣为动力，还必须有坚韧不拨的精神、锲而不舍的苦苦追求的作风。“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”，表面上是“全不费工夫”，其实有“踏破铁鞋”的功夫在前。第四，灵感思维必须从广泛角度解放思想，不受老师所讲知识的束缚，敢于向权威挑战。第五，灵感思维有时发生在苦思之后，又故意丢开，让大脑松弛，突然会在不注意的时候，似乎偶然接触，从而产生灵感，使问题解决。

由此可见，灵感思维是一种综合性极强的思维，连他本人也说不清楚“为什么”，但它绝不会凭空产生，必须以极强的形象思维和抽象思维为基础，它是形象思维与抽象思维的高度综合与提炼。因此，教师在数学教学中，主要是培养学生的形象思维和抽象思维，建立好坚实的形象思维和抽象思维基础，使学生在不注意的时候，自然而然地产生灵感。

（作者单位：辽宁省东港市第三中学）