罗 萍 张翠花

【摘要】本文采用对立统一的教学方法,强调了高等数学中不定积分与定积分既对立又统一的两个方面,以期提高积分学的课堂教学效率,为学习积分学的学生提供帮助与借鉴。

【关键词】积分学不定积分定积分

积分学中有两个重要的基本概念:不定积分和定积分。能否正确地理解这两个概念是能否学好积分学的关键。由于这两个概念名称相近,容易让人混淆,所以在课堂教学过程中,我们尝试采用对立统一法,使学生较好地掌握这两个概念,取得了良好的教学效果。

首先,在教学过程中,我们特别强调不定积分和定积分这二者对立的一面。他们的不同之处在于:

第一,定义不同。(1)不定积分的定义:如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则称f(x)的所有原函数F(x)+C为f(x)在I上的不定积分。记作∫f(x)d(x)=F(x)+c。(2).定积分的定义:设f(x)是定义在区间[a,b]上的有界函数,用分点a=x₀∠_x1∠...∠_n=∠将区间[a,b]分成n个小区间[x_i-1,x_i](i=1,2,…,n),其长度为△x_i=x_i-x_i-1,在每个区间[x_i-1,x_i]上任取一点ξ(x_i-1≤ξ_i≤x_i),则乘积f(ξ_i)△x_i(i=1,2,...,n)称为积分元素,总和S_nf(ξ_i)△x_i称为积分和。当n无限增大,而△x_i中最大者△x→0(△x=max{△x_i})时,总和S_n的极限存在,且此极限与[a,b]的分法以及点ξ_i的取法无关,则称函数f(x)在区间[a,b]上是可积的,并将此即限值称为函数在区间[a,b]上的定积分,记为:

由定义可知,不定积分的实质是被积函数的全体原函数的总称,即不定积分是函数;而定积分是和式极限,实质上是数值。这是两者在定义上的区别。

第二,记号不同。不定积分通常用∫f(x)d(x)表示;而定积分记为∫^b_af(x)dx。显然,不定积分无积分上下限,而定积分必须有积分上下限。

第三,求不定积分与求定积分的任务不同。

求函数f(x)的不定积分,其任务是求f(x)的所有原函数。通常是运用不定积分的基本公式及换元法、分部积分法等求出f(x)的一个原函数F(x),则不定积分∫f(x)d(x)=F(x)+C。定积分的任务却侧重于运用不定积分的知识(这是两者统一之处,后面有详述)求出一个值来。

第四,几何意义不同。

不定积分∫f(x)d(x)=F(x)+C中含有任意常数C,因此,对于每一个给定的C,都有一个确定的原函数。在几何上相应地就有一条确定的曲线,称为f(x)的积分曲线。因为C可以取任意值,因此,不定积分表示f(x)的一簇积分曲线。而函数f(x)正是积分曲线在x点处的斜率。由于积分曲线簇的每一条曲线,对应于同一横坐标x=x0的点处有相同的斜率,所以对应于这些点处,它们的切线互相平行,任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数,所以积分曲线簇y=F(x)+C中每一条曲线都可以由曲线y=F(x)沿y轴方向上、下移动而得到,如图1所示。

而定积分∫^b_af(x)dx的几何意义是:当在区间[a,b]上的连续函数f(x)≥0时,∫^b_af(x)dx表示y=f(x), x=a,x=b及x轴所围成的区边梯形的面积;而f(x)≤0时,这时的∫^b_af(x)dx表示y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的区边梯形面积的负值;如果f(x)在[a,b]上既有正值又有负值,此时,∫^b_af(x)dx表示y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的图形中,位于x轴上方的面积之和减去位于x轴下方图形的面积之和,如图2所示。お

由上可知,不定积分和定积分确实是两个完全不同的概念。

然而,世界上的一切事物都包含着既相互对立又相互统一的两个方面,不定积分和定积分虽然有以上诸多不同之处,但二者名称仅差一个“不”字,是否它们之间存在必然的内在联系呢?答案是肯定的。

不定积分和定积分确实有统一的一面,联系它们的桥梁是牛顿莱布尼兹公式。牛顿莱布尼兹公式告诉我们:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)。由此公式可知,要求定积分∫^b_af(x)dx的值,只要求出f(x)在[a,b]上的一个原函数F(x),并计算出F(x)从端点a到端点b的改变量F(b)-F(a)即可。

因此,定积分与原函数有了联系。而求原函数正是不定积分的任务,所以要计算出定积分的值,先得求出不定积分,从这个意义上来说,不定积分是定积分的基础,定积分是不定积分的应用,这就是它们统一的一面。