朱　哲

1 问题的提出

ス垂啥ɡ碓诩负卫锞哂蟹浅Ｖ匾的地位，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中也具有普遍的应用性. 在数学教科书中，勾股定理一般出现在八年级，而八年级被认为是学生学习数学的一个重要发展阶段，也即具体思维向形式化思维转变的时期. 所以可以说，勾股定理教学也处于学生数学思维转折阶段. 但另一方面，勾股定理的教学却始终是一个难点. 虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是让学生能够在思路上比较“自然地”想到证明方法是困难的；而且，从让学生体验知识发现过程的角度讲，要想让学生“再发现”勾股定理更是难上加难.^[1]所以有人说，看一个国家的数学教育水平，只要看看勾股定理，他们的教材是怎样编的，他们的教师是怎样教的，就可略知一二.

ザ杂诠垂啥ɡ淼慕萄В黄荣金博士从上海和香港所做的19个勾股定理教学的现场实录，以及由第三次国际数学和科学重复录象研究项目提供的12个勾股定理教学录象（包括实录文稿）中，选取澳大利亚、捷克、中国香港和上海四地勾股定理的课堂教学进行研究，其研究表明澳大利亚是把勾股定理作为一个事实（已知）告诉学生，只字未提证明，捷克和香港虽然介绍了多种证明方法，但事实上只是通过演示手段，让学生直观地确认所发现的关系. 文^[2]表明沪港两地教师在教学中对勾股定理证明的处理有许多不同之处：香港课堂主要通过直观或具体的活动来确认定理的真实性，而上海教师至少介绍一种数学证明，而且四分之三多的教师介绍 2 种以上方法；上海教师比香港教师更加紧扣教科书，而香港教师使用的教科书可以是不同的；香港教师总是将探索问题的过程或证明的步骤程序化.

ソ淌νǔＲ谰萁炭剖槔唇行教学，教科书的不同很有可能影响到教师的教学. 由此，本文从微观层面来考察沪港两地数学教科书“勾股定理”部分的编写. 上海的教科书，我们选取华东师范大学出版社《数学》（事实上，此套教材在内地被广泛使用），而香港教科书我们选取玂xford University Press的《Exploring Mathematics》^[3].

2 《数学》和《獷xploring Mathematics》中的“勾股定理”

オ《数学》第十四章为《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的应用》，其中14.1由《直角三角形三边的关系》和《直角三角形的判定》两小节组成. 《Exploring Mathematics（2^ndEdition）2B》第10章为《勾股定理（Pythagoras Theorem）》，该章有三节为勾股定理的内容：10.2《勾股定理(Pythagoras Theorem)》，由《直角三角形三边的关系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介绍勾股定理（Introduction to Pythagoras Theorem）》和《数学的美妙：勾股定理的证明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras Theorem）》三小节组成；10.3《勾股定理的应用（Applications of Pythagoras Theorem）》，由《简单平面图形的应用（Applications to Simple Plane Figures）》和《现实生活应用（Real Life Applications）》两小节组成；10.4《勾股定理的逆定理及应用（Converse of Pythagoras Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分别为平方根和无理数. ）

ケ疚拇庸垂啥ɡ淼姆⑾帧⒐垂啥ɡ淼闹っ鳌⒐垂啥ɡ淼哪娑ɡ砗凸垂啥ɡ淼挠τ盟母龇矫娑粤街纸炭剖榻行介绍，而这里的介绍涉及对两种教科书的简单比较.

2.1 勾股定理的发现

ァ妒学》通过三个活动引导学生发现勾股定理. 第48页安排了“试一试”：

ゲ饬磕愕牧娇橹苯侨角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：

根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.

ケ收呷衔，这个活动设计得并不十分合理. 因为一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数. 让学生由三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已经不是十分容易的事（比如，学生容易得到3+5=2×4而不易得到3²+4²=5²；也有学生由3²=4+5和5²=12+13猜想a²=b+c），更何况来猜想三个非整数之间的平方关系. 第49页安排了“试一试”，通过数或计算三个正方形的面积来寻找直角三角形三边长度之间的关系. 这个活动比前面那个活动目标明确、步骤清晰、难度降低，学生容易找到要求的关系. 第50页又安排了“做一做”. 由这三个活动概括出勾股定理.

ァ丢獷xploring Mathematics》的处理方式似乎与《数学》有些类似，事实上又有很大的区别. 教科书安排了两个“班级探险（獵lass Exploration）”，第一个活动是出示一个直角三角形，要学生测量三边的长度，然后计算三边的平方，再思考a²+b²与c²的关系. 第二个活动是让学生填表格，已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，8和6，15和8，画出图形，测量斜边，计算a²、b²和c²，再确定a²、b²和c²之间的关系. 很显然，这两个活动的目标很明确，而且台阶已经铺好，学生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.

プ苤，两种教科书都通过若干个活动引导学生发现勾股定理. 从难度上讲，《獷xploring Mathematics》比《数学》要小，因为已经把“探索问题的过程或证明的步骤程序化”.

2.2 勾股定理的证明

ァ妒学》在勾股定理的证明这一环节安排了“试一试”：将四个完全相同的直角三角形拼成一个正方形，然后计算边长为c的正方形面积，通过运算得到勾股定理，这是一种代数方法. 拼法有两种，第一种拼法（图1）有运算c²=(a+b)²-4×1/2ab=a²+b²，第二种拼法（图2）有运算c²=(a-b) ²+4×1/2ab=a²+b². 这里的图2是历史上赵爽“弦图”的简图，教科书随后在“读一读”中对其做了简单介绍.

此外，第54页习题14.1的第1题其实是勾股定理的总统证法，第58页的“读一读”其实是勾股定理的“风车证法”，而本章的最后安排“课题学习”：勾股定理的“无字证明”. 可以说，《数学》对勾股定理的证明非常重视，通过不同的活动形式展现给学生；而且更多地，不是直接告诉学生方法，而是引导学生自己去探索，去查找资料主动获取证明方法.

《Exploring Mathematics》在《数学的美妙：勾股定理的证明》这一小节中，给出两种“简单而优雅的证明（two simple and elegant proofs）”. 证明1通过四个直角三角形拼成正方形的两种不同摆放形式（图3），从直观上验证定理（没有代数运算），这是一种几何方法. 证明2与《数学》“试一试”中的第二种方法一致，通过代数运算来证明；而且教科书在证明2旁边也放了一则“历史注解（Historical Note）”简单介绍赵爽的弦图及其证明方法. 不过除了这两种证明方法，教科书中没有再出现其他的方法.

总之，两种教科书对勾股定理证明的处理有一致也有区别之处. 《数学》“试一试”中的两种方法都是代数方法，而《獷xploring Mathematics》采用一种几何方法和一种代数方法. 而且，两书的第二种方法都与赵爽的弦图有关，都配有简要的数学史知识. 此外，与《獷xploring Mathematics》不同，《数学》还涉及其他证明方法，其中第58页“做一做”中的“风车证法”也是一种几何方法.

2.3 勾股定理的逆定理

ザ怨垂啥ɡ淼哪娑ɡ恚《数学》用古埃及人画直角的方法来引入；而《Exploring Mathematics》则开门见山，提出问题：交换勾股定理的条件与结论，“如果a²+b²=c²，那么∠C=90°”，这个结论成立吗？然后学生探索，验证，得到结论. 《獷xploring Mathematics》也用“历史注解”的形式简单介绍了古埃及人画直角的方法.

2.4 勾股定理的应用

ザ杂诙ɡ淼挠τ茫两种教科书都给出了一定数量的例题和习题. 我们来看两书中的典型题目. 《数学》14.2《勾股定理的应用》例1：

ト缤14.2.1（图略），一圆柱体的底面周长为20玞m，高AB为4玞m，BC是上底面的直径. 一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.

ケ冉嫌幸馑嫉氖牵这一题目我们可以在内地其他版本的教科书中看到. 比如，人民教育出版社《数学》第十八章《勾股定理》复习题的第8题就是类似一题；北京师范大学出版社《数学》八上第一章《勾股定理》第3节就以“蚂蚁怎样走最近”为标题，研究这个“蚂蚁问题”. 为什么这些教科书都采用这一题目，它有什么深刻背景吗？事实上，它是由一道历史名题改编而来的，原题为：

如图4，在一个长、宽、高分别为30、12、12英尺的长方体房间里，一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的A处，苍蝇则在对面墙的中间离地面1英尺的B处，苍蝇是如此地害怕，以至于无法动弹. 试问，蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬行的最短距离是多少？（提示：它少于42英尺）

フ庖弧爸┲胗氩杂”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是獺.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的谜题之一. 杜登尼是19世纪英国著名的谜题创作者，他创作的这一问题对全世界难题爱好者的挑战，长达四分之三个世纪.^[4]这就不难明白，教科书为什么对这“蚂蚁问题”偏爱有加了.

コ例1外，《数学》还安排3个例题. 在例2下面有一“做一做”，其实是证明勾股定理的“风车证法”，与上下文似乎没有太大的联系，放在这一节里并不合理.

ァ丢獷xploring Mathematics》中例题和习题给人的第一感觉是，离学生的生活很近. 比如《现实生活应用》这一小节一开始安排了“班级探险”：

ゼ偕枰凰倚〈离开大屿山的梅窝码头，航行2.8公里达到喜灵洲码头. 然后左转90度并航行3.1公里到达坪洲码头. 寻找一种可以获知梅窝码头到坪洲码头的直线距离的方法.

ゴ笥焐绞窍愀鄣囊桓龅海ǖ纤鼓崂衷熬徒ㄔ谡飧龅荷希，喜灵洲和坪洲是大屿山附近的两个小岛，它们都是香港学生熟悉的. 所以这一题设计得非常好，它取材于学生的现实生活，给人一种“身边的数学”的感觉，富有生活气息. 把现实中的问题转化为数学问题，让学生通过数学化和数学地思维去解决问题. 解决了这一问题，又能让学生感觉到数学不仅是有趣的而且还是有用的.

ピ俦热纾同一小节的例7，大意是说玃atrick从学校到公交车站要穿过一个长124米宽93米的足球场，那么他走最短路线要走多远. 其后练习10獵的14题又把场景放到一个篮球场，獶avid沿边跳，獼ohn沿对角线跳，然后问他们跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及应用》中的例9关注两位学生的家与学校的距离，这样的情境让学生感觉到很亲切. 相比而言，《数学》第58页的例2，卡车通过工厂的大门，这样的问题情境就不是十分贴近学生的生活.

プ苤，《数学》取材于历史数学名题，《獷xploring Mathematics》在问题情境的设计上下足工夫，两书各具特色. 此外，从习题数量上看，《獷xploring Mathematics》明显要比《数学》多，而且每一个例题都标明它属于水平1还是水平2，其后的习题也按水平1和水平2分开编排；《数学》除章末的复习题按难度和水平分成A、B、C三组，其他的例题、练习和习题没有标注其对应的水平.

3 两种教科书引发的思考

ネü对《数学》和《獷xploring Mathematics》在“勾股定理”内容的考察、比较和分析，也引起了我们对一些问题的思考.

3.1 弱化对定理的发现

ザ杂诙ɡ淼姆⑾郑笔者认为可以做弱化处理，没有必要让学生在此太花精力. 引导学生探究而发现勾股定理，处理不当，容易导致学生盲目的探究. 在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上存在着困惑：通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a²+b²=c²，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生. 如何处理这一困惑，一条途径就是教科书直接把勾股定理呈现在学生面前，而更多地把空间留给介绍与勾股定理相关的数学史料上，借此拓宽学生的视野. 第二条途径是参考顾泠沅、王洁等人的工作：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知学习任务的难度的跨越. 这样的处理也具有一定的可行性. 不过，笔者更倾向于第一条途径，弱化发现，而强化证明、重视应用，把重点放到其后定理的证明和应用上，这样处理也许对学生的思维更有利.

3.2 呈现多种证明方法

ノ颐强吹健丢獷xploring Mathematics》只介绍了两种证明方法，而且第一种更多的是借助直观的几何验证；而《数学》则涉及到好几种证明方法. 这也可以从某种程度上解释前文所提及的两地课堂教学上的差别. 笔者认为，对于定理的发现，我们可以做弱化处理，而证明则应该强化. 一方面，勾股定理的证明可以训练学生精致的数学思维；另一方面，勾股定理的证明方法是体现多元文化数学的极好题材. 正如前文所述，勾股定理的证明方法据说超过400种，而且不同的方法与不同的文化、不同种族的思维方式紧紧联系在一起. 我们认为数学教科书中呈现多元文化数学的内容是数学教科书编写的发展方向. 通过对不同时期、不同地域数学成果及其思想方法的比较，可以使学生明白，数学并不只属于某个民族、某种文化. 数学教科书和数学教学引导学生尊重、分享、欣赏、理解其他文化下的数学，借此拓宽学生的视野，加深对数学知识的理解，培养开放的心灵. 那么，在《勾股定理》中，教科书应以适当的方式呈现若干种经典证法. 比如欧几里得《原本》的证明方法就很值得向学生介绍，与赵爽的方法做一对比，学生能体会到古希腊人对理性的追求；对相关背景做介绍，学生意识到不同的文明产生了不同的数学. 欧几里得方法可能对学生而言比较难，不是那么容易理解，教师可以做适当的处理，比如借助计算机做动态演示，一般学生还是可以接受的.

3.3 问题情境的设计应贴近学生的生活

チ街纸炭剖槎远ɡ淼挠τ枚挤浅Ｖ厥. 学习了勾股定理，学生必须会用这个定理，否则学习它就没有多大意义了. 教科书都安排了不少例题和习题. 在笔者看来，《獷xploring Mathematics》的最大特色就在于问题情境的创设上. 数学问题本身就来自于生活，数学方法应应用于现实生活. 数学并不远离学生的现实世界，相反，它就在我们身边. 《獷xploring Mathematics》中的例题和习题，就取材于学生周围的世界，学校、自己家的房子、球场、公交车站、居住的岛屿，这些都是学生熟悉的场景. 这些熟悉的场景放进数学题里，学生就有一种亲切感. “学数学”不仅是“做数学”，而且还是“玩数学”，让学生在一种轻松愉快的情境中解决数学问题，而这个过程是充满乐趣的. 教科书中的数学问题不能单纯围绕数学而编写、杜撰. 比如说，我们在内地某教科书中看到这样一个问题：

デ看蟮奶ǚ缡沟靡桓旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处. 旗杆折断之前有多高？

フ飧鑫侍馍杓撇⒉豢蒲А⒑侠恚因为横向的“12米”是容易测量的，那么纵向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通过直接测量的话，那么折断部分的15米应该也不难测量（唯一难测量的情况就是尺子的长度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是来自于一个现实生活的问题，实则是很典型的“为数学而问题”. 从数学角度讲，它也许是严谨的、完美的，但它却远离了学生的现实生活. 香港教科书在问题情境创设上对我们很具启发和借鉴意义.

参考文献

ぃ1］ 鲍建生,王洁,顾泠沅.聚焦课堂——课堂教学视频案例的研究与制作［玀］.上海:上海教育出版社,2005. 180.

ぃ2］ 黄荣金.香港与上海数学课堂中的论证比较——验证还是证明［獼］.数学教育学报,2003,12(4):13-19.[ZK)]

ぃ3］ 獽.S.Leung,W.M.Chu,O.K.Fok,M.L.Luk.Exploring Mathematics（2^ndEdition）2B ［M］.Hong Kong:Oxford University Press (China) Ltd,2005.

ぃ4］ 徐鸿斌,张维忠.从一道历史数学名题谈研究性学习［獼］.数学通报,2004,(7):31-32.