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转化让我尝到了“甜头”

2008-12-23杨璐铭

关键词:大圆直角三角形梯形

杨璐铭

平时学习数学,老师总强调要注意运用数学思想解决问题,可我一直体会不到数学思想对解题有多大帮助. 学习了平移与旋转后,利用平移与旋转变换将复杂的问题转化为简单的问题,使我尝到了巧妙解决问题的快乐,体会到了转化思想给我带来的甜头,如果你不信,请你跟我走.

如图1,在两个同心圆中,三条直径把大圆分成相等的六部分,若大圆半径为2,则图中阴影部分的面积为.

根据已知条件,阴影部分的面积不能直接求,怎么办呢?三条直径把大圆分成相等的六部分,同时也把小圆分成相等的六部分……啊哈,有了,如果利用旋转的方法,便可以将阴影部分全部集中到一起,恰好组成一个半径为2的半圆,因此图中的阴影部分面积为:π×22=2π.

怎么样,利用旋转将分散的不规则图形集中到一个规则的图形中去,再利用规则图形的性质解决问题,这种转化方法妙吧,更妙的还在后面呢!

如图2,在一块长为51 m,宽为21 m的长方形草地上,有两条分别穿过长、宽的弯曲的小路,小路任何地方的水平宽度都是1 m,求草地的面积是多少.

草地的面积等于长方形的面积减去小路的面积,可小路是弯曲的,形状不规则,不能直接求.由于小路任何地方的水平宽度都是1 m,小路可看做一条弯曲的线平移1 m得到的,每条小路两边的部分可通过平移移到一起……有了,假设先将一条小路剪去,如图3,去掉了穿过长的小路,将小路的两边部分移到一起,得到了一个新长方形.再去掉穿过宽的小路,再平移,如图4,这样得到了一个长为50 m,宽为20 m的草地,其面积为(51-1)×(21 - 1)=1 000(m2).

怎么样,利用平移的方法也能将不规则图形集中到一起,转化为规则图形,这种方法是不是更妙!别着急,还有呢.

如图5,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离,就得到此图形,其中AB=10 cm,BE=6 cm,DH=4 cm,求阴影部分的面积.

由平移的性质可得阴影部分是个梯形,此梯形只知一腰DH的长,无法直接求面积.平移不改变图形的形状与大小,△HEC是平移前后两直角三角形重叠的部分.好!两直角三角形的面积都减去△HEC的面积,其差相等,即阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积,S梯形ABEH=(AB+EH)·BE,由于EH=DE-DH=AB-DH=10-4=6,所以S梯形ABEH= × (10+6)×6=48,因此阴影部分的面积为48 cm2.

这道题抛开图形的形状,只考虑图形的面积,从而达到了面积转化的目的,是不是也很妙呢?

现在,你是否也体会到转化思想的奥妙了呢?赶快拿起笔来试试吧!(指导老师:刘书妹)

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

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