周宏文

例1（填“是”或“不是”）分数.

错解：是.

评析： 受分数线的影响，误以为 是分数.是不是分数，不能光看形式，而要看结果.如果假设它是分数，则它必是有理数，与它是无理数相矛盾！所以它不是分数.

正解：不是.

例2 计算： .

错解：原式＝ + =1 .

评析： 误以为存在结论“ = + （a≥0，b≥0）”，其实，一般情况下“ ≠ + （a≥0，b≥0）”.

正解：原式＝ = =1 .

例3 化简： .

错解：原式＝ =m+n .

评析： 解答有两个错误：一是m＋n是一个整体，必须加括号；二是并不知道m+n是正是负，因此要加绝对值.

正解：原式＝ =｜m+n｜ .

例4 把式子a 中根号外的因式适当改变后移到根号内，并使原式的值不变.

错解：原式＝= .

评析： 利用公式a= （a≥0）时，前提是a≥0.根号外的负因式（数）不能移进根号内，如-2≠ .因此，在将根号外的因式（数）移进根号内前，一定要先判断所移因式（数）是否非负.

正解：由题意可知- ≥0，得a<0，所以-a>0.

∴原式＝-（-a） =-=- =- .

例5 化简： .

错解：原式＝ + = + = =2 .

评析： 在a≥0，b≥0时，有 = • ，但一般情况下 ≠ ± .

正解：原式＝ = .

例6 化简： .

错解：原式＝ = .

评析： 解答忽视了“m<0”这个隐含条件.

正解：由题意得m<0.

∴原式＝ = =- .

例7 计算： ÷ × .

错解：原式＝ ÷1= .

评析： 乘、除是同级运算，应按照从左到右的顺序做，不应先算后面的乘法.

正解：原式＝ × × = .

例8 计算： ÷2 .

错解：原式＝ ×==m.

评析： 这里把除法变为乘法时，把2 的倒数误认为.

正解：原式＝ ×==2.

例9 计算： ÷（ + ）.

错解：原式＝ ÷ + ÷ = + .

评析： 受“乘法分配律”的影响，误以为存在“a÷（b+c）=a÷b+a÷c”这一结论.

正解：原式＝ = =3 -2 .

例10 已知0

错解：原式＝（m-1）－（m＋1）＝－2.

评析： 这里忽视了“0

正解：由00.

∴原式＝｜m-1｜-｜m+1｜=1-m-（m+1）=-2m.

例11 化简： .

错解：原式＝ = - .

评析： 当x＝y>0时， - =0，错解是将原式分子分母都乘以一个可能等于0的式子，所以这种方法是错误的.

正解1：（1） 当x＝y时，代入原式，得原式＝0.

（2） 当x≠y时， - ≠0，解法同错解.

综合（1）（2），得原式＝ - .

正解2：显然x，y均为非负数.

∴原式＝ = - .

练习题

已知方程x2+3x+1=0的两个根为α，β，求 + 的值.

解：由Δ=32-4×1×1=5≠0，可得α≠β.

由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3，α β=1.

∴原式＝ + = = =-3.

请指出解答中的错误，并给出正确解答.

责任编辑/冯 琦

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”