牟方田

数学思想是数学知识的精髓．在学习过程中，我们既要学好基础知识，掌握好基本技能，又要深刻地领会数学思想，这样，我们才能够灵活地运用知识解决问题．下面，我们一起来解读数据分析中涉及的数学思想．

[一、方程思想]

著名数学家笛卡尔曾提出过一个解决问题的大胆设想：任何问题→数学问题→代数问题→方程求解.尽管这一想法并不完全正确，但是我们可以从中看到方程在解决问题中的重大作用．笛卡尔的这一想法体现了方程思想，即把具体问题中变量之间的关系用方程加以刻画，并运用方程的知识加以研究．

例1一次数学测试中，某班40名学生的成绩统计如表1.

测试成绩为60分和80分的人数不小心被墨水污染，已经看不清楚了.现在只知道这次数学测试该班的平均成绩是69分．

（1）请求出测试成绩为60分和80分的人数.

（2）设该班40名学生测试成绩的众数为a，中位数为b，求（a-b）2的值．

分析：利用平均成绩是69分和总人数为40，可以建立关于得60分和得80分人数的二元一次方程组．

解：（1）设这次测试成绩为60分的有x人，测试成绩为80分的有y人．根据题意，列方程组得

2+x+10+y+4+2=40，

50×2+60x+70×10+80y+90×4+100×2=69×40.解得x=18，

y=4.

所以，这次测试中成绩为60分的有18人，成绩为80分的有4人．

（2）由（1）知，该班40名学生测试成绩的众数a=60，中位数b==65．所以，（a-b）2=（60-65）2=25．

点评：本题是利用方程组，并结合统计知识求解的．

[二、整体思想]

在解决某些数学问题时，把问题中的某一部分当作一个整体进行处理，可以获得简洁的解法.这就是数学中的整体思想．

例2已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差s2=2．

（1）求数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，x5+5，x6+5的方差s′2；

（2）求数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6的方差．

分析：由于题目中没有告诉各个数据的具体值，所以必须灵活地运用平均数和方差的计算公式，从大处着眼，整体求解．

解：（1）设数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为.其方差s2=2.

所以=2．

可以求得数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，x5+5，x6+5的平均数为

=

=+5．

所以，数据x1+5，x2+5，x3+5，x4+5，x5+5，x6+5的方差

s′2=

==s2=2．

（2）与（1）类似，可以求得数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6的方差为4s2=8．

点评：一组数据都增加相同的数a后，新数据的平均数在原平均数的基础上也增加a，而方差不变；一组数据都扩大到原来的a倍后，新数据的平均数也扩大到原平均数的a倍，而方差扩大到原方差的a2倍．

[三、分类讨论思想]

如果要研究的问题有不止一种情况，则需要分类加以讨论，使问题获得全面的解答，这就是数学中的分类讨论思想．分类讨论时要选取明确的分类标准，分类要做到不重复、不遗漏．

例3为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加射击比赛，在同等的条件下，教练给甲、乙两名运动员安排了一次射击测验，每人打10发子弹．表2是甲、乙两人各自的射击情况记录.

其中，乙的情况记录中射中9环、10环的子弹数被墨水污染，看不清楚.但是教练记得乙射中9环、10环的子弹数均不为0．

（1）求甲运动员在这次测验中的平均成绩.

（2）谁的射击水平较高？请通过计算说明理由．

分析：本题（2）需要对乙射中9环、10环子弹数的情况进行讨论．在各种情况下，先比较平均数，平均数大的射击成绩好；若平均数相同了，再比较方差的大小，方差越小，说明射击成绩越稳定，成绩也较好．

解：（1）7环．

（2）①若乙射中9环的子弹数为1，则射中10环的子弹数为2．这时，乙的平均成绩是（5×3+6×1+7×3+9×1+10×2）÷10=7.1（环）．

∴乙的射击水平比甲的射击水平高．

②若乙射中9环的子弹数为2，则射中10环的子弹数为1．这时，乙的平均成绩是（5×3+6×1+7×3+9×2+10×1）÷10=7（环）．

此时，甲、乙两人平均成绩是相同的.需要进一步比较两人成绩的稳定性．

甲在这次测验中的方差是：

[s][2][甲]=［4×（5-7）2+1×（6-7）2+2×（8-7）2+2×（9-7）2+1×（10-7）2］÷10=3.6.

乙在这次测验中的方差是：

[s][2][乙]=［3×（5-7）2+1×（6-7）2+3×（7-7）2+2×（9-7）2+1×（10-7）2］÷10=3．

∴[s][2][甲]>[s][2][乙]，即在这次测验中乙的成绩比甲的成绩更稳定.

∴乙的射击水平比甲的射击水平高．

综上所述，乙的射击水平更高．

点评：在比较几组成绩的优劣时，一般先看平均数，如果平均数相同，再考虑其他统计量．

[四、样本估计总体的思想]

用样本估计总体是统计学的基本思想.运用这种思想解题要注意两点：（1）抽取的样本要有普遍性，它的特征要能够代表总体的特征；（2）要善于运用统计学知识分析出样本的特征，并运用这个特征合理地估计总体．

例4沿黄河某地区为积极响应和支持“保护母亲河”的行动，建造了长为100 km，宽为0.5 km的防护林．

有关部门为统计这一防护林树木的数量，从中选出10块区域（每块区域长为1 km，宽为0.5 km）进行统计.这10块区域的树木数量如下（单位：棵）：

65 100 63 200 64 600 64 700 67 300

63 300 65 100 66 600 62 800 65 500

请根据以上数据计算这一防护林约有多少棵树.

分析：先求出这10块区域树木数量的平均数，然后用这个平均数来估计这一防护林树木的总数．

解：计算可得，这10块区域树木数量的平均数为=64 820．

所以，可以估计这一防护林共约有树木64 820×100=6 482 000（棵）．