喻碧涛

一、重点和难点

1. 重点：正确理解分解因式的概念以及它与整式乘法的区别、联系，能够熟练地运用提公因式法和公式法把多项式分解因式.

2. 难点：能用类比的思想方法去分析、理解整式乘法与分解因式的关系，能灵活选择适当的方法将一个多项式分解因式.

二、知识精析

1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．分解因式的最终结果必须是几

个整式的积的形式.

2. 提公因式法的关键是找出各项的公因式．公因式中的系数是各项系数的最大公约数，同一字母或因式的指数则要取各项中最低的指数.

3. 运用公式法的关键是熟悉每一个公式的特征，如项数、符号、指数、系数等．在多项式没有公因式的前提下，两项式常用平方差公式，三项式常用完全平方公式或公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．若各项有公因式，则先提公因式，再考虑运用公式法.

4. 分解因式与整式乘法是两个互逆的过程，但不是互逆运算（整式乘法的逆运算是整式除法），它们的关系可以表示为：

5. 分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.

6. 分解因式的结果中，相同因式的积应写成幂的形式，单项式因式应写在多项式因式前面.

7. 分解因式的过程是恒等变形的过程，在变形前后，式子的值始终保持不变.

8. 感受并领悟渗透于分解因式过程中的类比、转化、整体代换等思想方法，学会运用配方法和逆向思维法.

三、解题技巧

例1 计算：.

解析：根据题目的结构特点，通过观察，可巧妙利用分解因式，使运算简便、快捷.

原式===＝.

例2 已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值是.

解析：由题设知a-b=1，b-c=-2，a-c=-1．根据求值代数式的特点，可利用完全平方公式分解因式，然后整体代入求值.

由已知可得a-b=1，b-c=-2，a-c=-1，所以，原式=x（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=［（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2］=（1+4+1）=3.

例3 求方程x2-y2+2x-2y=-5的整数解.

解析：根据方程特点，可先将其左边分解为几个因式的积的形式，而右边为一个常数，从而可列出方程组求解.

原方程可变形为：（x+y）（x-y）+2（x-y）=-5，即（x-y）（x+y+2）=-5.由-5=-1×5=1×（-5），可得到以下方程组：x-y=-1，

x+y+2=5；或x-y=5，

x+y+2=-1；或x-y=1，

x+y+2=-5；或x-y=-5，

x+y+2=1．解上述各方程组，得到原方程的整数解：x1=1，

y1=2；x2=1，

y2=-4；x3=-3，

y3=-4；x4=-3，

y4=2.

例4 证明：四个连续整数的积加上1是一个奇数的平方.

解析：由连续整数的特点及乘法的交换律，将多项式利用分解因式变形为完全平方式.

设这四个连续整数分别为n-1，n，n+1，n+2（n为整数），于是有（n-1）n·（n+1）（n+2）+1=［（n-1）（n+2）］［n（n+1）］+1=（n2+n-2）（n2+n）+1=（n2+n）2-2（n2+n）+1=（n2+n-1）2.由于n2+n=n（n+1）是两个连续整数的积，必为偶数，从而n2+n-1必是一个奇数，故四个连续整数的积加上1是一个奇数的平方.

例5 已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2-c2+3ab-3bc=0，试判断△ABC的形状.

解析：将已知条件的左边分解为几个因式的积，因右边为0，则左边必有因式为0，从而得到有关边之间的等式.

因a2-c2+3ab-3bc=0，故 （a＋c）（a-c）+3b（a-c）=0，即（a-c）（a+c+3b）=0.又a、b、c为△ABC三条边的长， 所以a+c+3b＞0.故 a-c=0．所以△ABC是等腰三角形.

四、易错点直击

1． 对整式的意义理解不正确而出错.

例6 分解因式：m2-5m+6.

错解：原式=m21-

+

.

剖析：结果虽是积的形式，但1-＋不是整式，故分解因式不正确.

正解：原式=（m-2）（m-3）.

2． 不是恒等变形而出错.

例7 分解因式：3y2-6xy+3y.

错解：原式=3y（y-2x）.

剖析：“1”作为系数通常可以省略不写，但如果单独成一项时就不能漏掉．上面的错误就出在多项式的第三项提取3y后，将“1”省略了.

正解：原式=3y（y-2x+1）.

3． 公因式未提尽而出错.

例8 分解因式：4m（a-b）3-2mc（b-a）2.

错解：原式=2m［2（a-b）3-c（b-a）2］.

剖析：中括号内仍含有公因式（a-b）2.

正解：原式=2m（a-b）2（2a-2b-c）.

4． 公式应用不正确而出错.

例9 分解因式：4x2-（x2+1）2.

错解：原式=（2x+x2+1）（2x-x2-1）=（x+1）2（x-1）2.

剖析：错误出在二次三项式2x-x2-1不等于（x-1）2，而应等于-（x-1）2.

正解：原式=（2x+x2+1）（2x-x2-1）=-（x+1）2（x2-2x+1）=-（x+1）2（x-1）2.

5． 分解不彻底而出错.

例10 分解因式：-m4+16.

错解：原式=16-m4=（4+m2）（4-m2）.

剖析：4-m2在有理数范围内还可以再分解.

正解：原式=16－m4＝（4+m2）（4-m2）=（4+m2）（2+m）（2-m）.

6． 分解后的因式不是最简形式而出错.

例11 分解因式：m（m-n）3+2m2（m-n）2-2mn（m-n）2.

错解：原式=m（m-n）2［（m-n）+2m-2n］=m（m-n）2（m-n+2m-2n）．

剖析：提取公因式后，剩下的因式中能进一步合并的没有合并，或相同的因式没有写成幂的形式.

正解：前面分解方法同上解，得：原式=m（m-n）2（3m-3n）=3m（m-n）2（m-n）=3m（m-n）3.

五、相关中考题链接

1. （临沂市）把45ab2-20a分解因式的结果是（）．

A. 5ab（9b-4） B. 5a（9b2-4） C. 5a（3b-2）2 D. 5a（3b+2）（3b-2）

2. （天门市）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．小明将图1的阴影部分剪拼成了一个矩形，如图2所示．这一过程可以验证（）．

A. a2+b2-2ab=（a-b）2B. a2+b2+2ab=（a+b）2

C. a2-b2=（a+b）（a-b） D. 2a2-3ab+b2=（2a-b）（a-b）

3. （淮安市）如果a+b=2 006，a-b=1，那么a2-b2= .

4. （锦州市）若多项式4a2+M能用平方差公式分解因式，则单项式M= （写出一个即可）.

5. （福建）已知x2+4x-2=0，那么3x2+12x+2 000的值为 .

6. （北京）分解因式：（1）x5-4xy2；（2）a2-2ab+2b2.

7. （济南市）请你从下列各式中任选两式作差，并将得到的式子分解因式：

4a2，（x+y）2，1，9b2.

8. （2006年·安徽）老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27．王华接着又写了具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22……

（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式．

（2）试用文字表达上述算式的规律．

（3）证明这个规律的正确性.

相关中考题链接参考答案

1. D2. C3. 2 0064. -b2（答案不唯一）5. 2 0066. （1）x（x2+2y）（x2-2y）；（2）（a-2b）2． 7. 答案不唯一，略. 8. （1）略． （2）任意两个奇数的平方差是8的倍数.（3）设m、n为整数，两个奇数表示为2m+1和2n+1，则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n）（m+n+1）.当m、n同为奇数或偶数时，m-n一定为偶数，所以4（m-n）一定是8的倍数；当m、n一奇一偶时，则m+n+1一定是偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数．由此可知，上述规律是正确的.