张明文

谈到几何则离不开几何图形的研究，在初等几何中，所接触到的问题一般可以分为两类：一类是先假设给出符合一定条件的图形，然后研究这个图形有哪些性质，如证明题、计算题等；另一类是预先给出一些条件，要求作出具备这些条件的图形，这便是作图题.

平面几何中的所谓基本作图，就是作图工具习惯上限用直尺和圆规两种，也称尺规作图．其中，直尺假定直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿足够长并能开闭自如.在现代中学数学教学中，各种常见几何图形的尺规作图是重中之重.

根据我长期的初中数学教学经验，在正三角形、正四边形、正五边形、正六边形等常见正多边形的尺规作图中，最难学习掌握的就是正五边形．正五边形与它自己的外接圆或内切圆的联系关系比较难找，在此，我把自己在长期的教学过程中总结的几种常用正五边形画法介绍给大家，以供参考.

1．已知正五边形外接圆半径R作正五边形

方法１：“径分三等份，一垂两连弦，连接五个点”，是每个中学生受益匪浅的正五边形近似画法的口诀.“径分三等份”是指把正五边形的任一条外接圆直径（一般选用竖直的一条直径）分成相等的三等份；“一垂两连弦”是指过任意一个三等份点作三等份直径的垂线与外接圆有两个交点,再分别将这两个交点与直径的另一个三等份点连接与圆相交得到两条弦；“连接五个点”是指顺次连接圆上的五个交点就得到近似正五边形.作图步骤如下．

（1）作已知半径为R的正五边形外接圆O,再作一条竖直的直径FD,利用尺规作图法把直径FD分为相等的三等份,三等份点分别为P、Q；（2）过Q点作垂直于直径FD的弦CE,连接CP交圆O于A,连接EP交圆O于B；（3）顺次连接A、B、C、D、E各点，则五边形ABCDE为所求正五边形.如图１．

这种作图方法得到的边BC=CD=DE=ＡＥ,而ＡＢ比其它四边略长,经计算，ＡＢ所对应的圆心角为77.885°，而BC，CD，DE，ＡＥ对应的圆心角为70.529°，与标准的正五边形每条边所对应的圆心角都为72°略有差距,所以说此种方法为近似画法,它对于精度要求不高的作图非常实用.

方法２：（1）作已知半径为R的正五边形外接圆O，并作互相垂直的直径MN和BF；（2）平分半径ON于P，使OP=PN；（3）以P为圆心，PB为半径画弧与OM交于Q，BQ即为正五边形的边长；（4）以BQ为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点，五边形ABCDE即为所求正五边形．如图２．

方法３：（1）作已知半径为R的正五边形外接圆O，任选一半径OA（一般选水平方向)，过点Ｏ作OA的垂线OP交圆O于P；（2）平分半径OP于M，使OM=MP；（3）作∠OMA的角平分线MN交OA于点N；（4）过N作OA的垂线NB交圆O于点B，AB即为正五边形的边长；（5）以AB为弦长，在圆周上截得C、D、E各点，顺次连接A、B、C、D、E各点，五边形ABCDE即为所求正五边形.如图３．

2.已知正五边形的边长为l作正五边形

方法１：（1）作线段AB等于１，并分别以A、B为圆心，１为半径画弧与AB的中垂线交于P；（2）以P为圆心，取AB的2/3长度为半径在ＡＢ的中垂线上向外侧取点D，使DP=2/3AB；（3）以D为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于C、E；（4）顺次连接A、B、C、D、E各点，即近似作得所求正五边形ABCDE.如图４．

方法２：（1)作线段AB等于１，过B作AB的垂线BM，使BM=1/2AB；（2）以M为圆心，MB为半径画弧交AM的延长线于点F；（3）分别以A、B为圆心，AF为半径画弧相交于点D；（4）分别以A、B为圆心，AB为半径画弧与步骤3的圆弧相交于点E、C；（5）顺次连接A、B、C、D、E各点,五边形ABCDE即为所求正五边形.如图５．

方法３：（1）作线段AB等于１，作AB的垂直平分线MN交AB于点O，并且截取ON＝3AO，连接NA、NB；（2）以A、B为圆心，AB为半径作弧分别交NA、NB的延长线于点Ｅ、Ｃ；（3）以Ｅ为圆心，AB为半径作弧交MN于点Ｄ；（4）顺次连接A、B、C、D、E各点，则ABCDE为近似正五边形.如图６．