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导函数和原函数在对称性上的联系

2008-07-31

中学数学杂志(高中版) 2008年4期
关键词:奇函数偶函数对称性

支 军

首先,我们来探究,原函数对称时,导函数的对称性如何?

若函数f(x)关于x=a对称且可导,则f(x)=f(2a-x).

根据复合函数导数的性质易得:

f ′(x)=-f ′(2a-x),所以导函数f ′(x)关于点(a,0)对称.

同理可得:若函数f(x)关于点(h,k)对称且可导,则导函数f ′(x)关于直线x=h对称.

因此,我们得到如下结论:

定理1 若函数f(x)关于x=a对称且可导,则导函数f ′(x)关于点(a,0)对称.若函数f(x)关于点(h,k)对称且可导,则导函数f ′(x)关于直线x=h对称.

推论 若函数f(x)为偶函数且可导,则导函数f ′(x)为奇函数;若函数f(x)为奇函数且可导,则导函数f ′(x)为偶函数.

下面我们来探究导函数对称时,原函数的对称性如何.

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”

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