田一鸣　黄友锐　黄宜庆

摘 要： 模糊集、Vague集和C^*-模糊集（新模糊集）都是对经典集合论的扩展，同时又是模 糊集 合论分支的发展成果。为完善模糊理论体系并将其有效应用，在介绍了三种集合的概念的基 础上，分析了它们之间的区别和内在联系并参考与概率论统一定义的C^*-模糊集合 框架，提出 了新Vague关系，使得在处理不确定问题的领域中有了完备的理论基础。最后对三个集合的 发展和应用作了一些探讨性研究。

关键词：C^*-模糊集；Vague集；模糊集

中图分类号：TP301 文献标识码：A 文章编号：1672-1098(2008)03-0038-04

模糊集、Vague集和C^*-模糊集是研究信息系统中知识不完全、不确定问题的 重要方法，在计算机科学及应用的多种领域中有着重要的实际应用。模糊集推广了集合论， 把属于、不属于两种隶属情况推广成为［0，1］之间的任意实数的隶属度，较好地描述了模 糊性，它的单值的隶属度包含了支持与反对证据的程度，但不能表示中立的证据；Vague集 拓 广了模糊集对事物表达的范围，弥补了模糊集合的单值隶属度只能描述支持的证据这一不足 ，更准确的表达了模糊性；C^*-模糊集合论从根本的集合关系出发，与概率论的基 本部分统一定义，以严格的数学理论导出更客观的表示模糊性的方法。模糊集理论、Vague 集理论和C^*-模糊集理论的研究着眼点不同，特别是对集合关系的研究，可以说是 模糊集理论的发展和完善。

1 基本概念介绍

1.1 模糊集理论

在自然科学和社会科学研究中，存在界限模糊的概念。普通集合论是布尔量的判断，即 一个对象要么属于要么不属于一个集合，二者非此即彼，属于二值逻辑。这样无法处理客观 存在的一些模糊概念。文献［1］在1965年提出了模糊集合论，把事物的模糊性用数学 语言进行描述。

定义1 给定论域U中的一个模糊集合A，是指对任意u ∈U都为其指定一个数μ_A(u)∈［0,1］与之对应，这个数叫做对A的隶属度。这意味着作 出一个映射：μ_A∶u→［0,1］，u→μ_A(u) 。

μ_A(u)这个映射称为A的隶属函数。模糊集A就是以这个隶属函数为特征的集合

普通的集合是指具有某种属性的对象的全体，这种属性的表达是清晰的，界限分明的。 因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在客观世界或人的思维中有许 多模糊的概念，存在一个由此及彼的过渡过程。模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的 属性的对象的全体。由于用来表达对象的概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集 合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。因此，模糊集合理论是处理这些不确定和模糊的 信息的一个强有力的工具，以便可以用数学手段处理问题，从而使人作出比较客观正确的决 策。

1.2 Vague集理论

在Vague集中，论域内的元素和论域上的集合之间的关系是“在一定范围内属于”的关 系，是一个区间的表示，这个区间给出支持证据的程度也给出反对证据的程度，有着更强的 表示信息能力［2］。

定义2 设X是一个对象空间，其中的任意一个元素用x表示 ，X中的一个Vague集V用一个真隶属函数t_v和一个假隶属函数f_v表示。t_v(x)是从 支持x的证据所导出的x的肯定隶属度下界，f_v(x)则是从反对x的证据 所导出的x的否定隶 属度下界，t_v(x)和f_v(x)将区间［0，1］中的一个实数与x中的每一个点联系起来， 即

t_v∶X→［0，1］，f_v∶X→［0，1］

其中，t_v(x)+f_v(x)≤1。

如定义，一个Vague集V用一个真隶属度t_v(x)和一个假隶属度f_v(x)来描述其隶属度的 界，这两个界构成了［0，1］上的子区间［t_v(x)，1-f_v(x)］。反映了“一定 范围内属于”，是存在支持、反对和中立的客观事物的数学模型。

Vague集中，当1-f_v(x)=t_v(x)时，则可以精确x，Vague集退化为模糊集；当1-f _v(x)和t_v(x)都同时为1或0时，Vague集退化为经典集合。

1.3 C^*-模糊集合论

C^*-模糊集合论即新模糊集合论，从模糊集合的关系出发进一步发展了模糊集合理 论，提出C^*-模糊集合论，把模糊集合论与概率论统一定义［3-5］，能正 确地 描绘客观世界的全部模糊现象，使模糊集合更能体现事物的一般原理，使理论更加完备与统 一。经典集合系统是其特例。

定义3 假设，U和Ω是经典集合，U是论域，可以是一维， 也可以是多维，u是U的元素。令X是Ω的全体子集的集合。给定论域U中的一个C^*- 模糊集合A*={(u,μ(A,u))｜u∈U}，其中A∈X，μ(A,u)为u隶属于A的隶属度， 满足μ(A,u)∈［0，1］，μ(Ω,u)=1，μ(Φ,u)=0。

在客观存在的概念中，用模糊集合的关系来研究的结果不全是正确的。例如，两个模糊 集合不相交，其交集的隶属度应为零；若两个模糊集合包含，其交集应是两者隶属度的最小 值；若两个模糊集合相交但不是包含关系，其交集的隶属度就有许多可能值，取决于相交程 度，新模糊集合论模仿条件概率定义了覆盖系数来表示这一相交程度。

定义4 在C^*-模糊集合论中， μ(B｜A, u)=μ(A∩B,u)/μ(A,u)被定义为C^*-模糊集合A*对于C^*-模糊集合B*在u 上的覆盖系数。从而满足μ(A｜A,u)=1， μ(Φ｜A, u)=0， μ(Ω｜A, u)=1和μ(B｜A, u )∈［0，1］， 其中， μ(A,u)≠0，u∈U，A∈X，且B∈X，以及μ(∪B,u)=μ(A, u)+μ(B,u)μ( A｜B,u)。

在模糊集合之间存在的关系上，用覆盖系数来刻画集合关系的程度，进一步完善了客观 反映信息的完备性。

2 三种理论的比较和分析

2.1 模糊集和Vague集

Vague集是对模糊集的一种扩充，是模糊集的扩展集，它从真假两个方面对研究对象进行描 述，弥补了模糊集中单一隶属函数的不足。Vague集比模糊集更好的描述不确定性。

Vague集理论和模糊集理论都可以处理模糊、不确定问题，它们的隶属函数都依赖于统 计或专家经验。模糊集的核对应于Vague集的正域（真隶属度为1），模糊集的支集对应于Va gue集的最大可能域（假隶属度小于1）。

具体来讲，模糊集的隶属度是一个单值，Vague集的隶属度是［0，1］的一个子区间。Vag ue集理论可以通过其隶属函数表示对象的支持度、反对度和中立度（未知度）三种信息。模 糊集通过其隶属函数仅能表示对象的支持度和反对度，不能表示中立度。如此，Vague集能 更好、更准确的表达模糊信息。

问题或研究对象的不确定性使集合带有不确定性，从理论上讲，模糊集的应用也可以通 过Vague集来实现，而且用Vague集更合理、更客观。从实际应用看，某些情况用模糊集合已 经足够，用Vague集合更复杂，相对所用资源或时间复杂度就比较大，而有些不能够准确描 述模糊信息的情况下，用Vague集就比较合适。

两者在一定程度上可以互相转化。如两个模糊集构建一个Vague集的方法［6］；Vagu e集向模糊集转化的方法［7-8］。

2.2 模糊集和C^*-模糊集

C^*-模糊集合论从集合关系的角度指出了模糊集合论的不足：通过模糊集合的隶属 度去求 其交集不总是可能的。新模糊集合论参照概率论中条件概率定义了覆盖系数，用其来刻画相 交程度。模糊集合论的最大、最小值算法仅仅对相互包含（非一致包含）有效，如果不能完 全包含，就开始出现误差，覆盖系数越小，误差越大。

非一致包含：

μ(A∩B,u)=[ZK(]μ(A,u)-μ(A,u)μ(B｜A,u)=

min(μ(A,u),μ(B,u))

μ(A∪B,u)=[ZK(]μ(A,u)+μ(B,u)μ(A｜B,u)=

max(μ(A,u),μ(B,u))

C^*-模糊集合论还把模糊集合论中的补定义成共轭，从而解释了存在既属于某 集合，又属于该集合的补的客观模糊现象。

求补：

存在一个补集μ(A, u)=1-μ(A, u)， 满足A∩A=Φ

存在多个共轭，满足μ(ΘA,u)=1-μ(A,u)

理论上，C^*-模糊集合论修正了模糊集合论，并与概率论形成了统一定义，把客观 模糊现象形成了严格的理论模型，从而使模糊理论更有指导意义。

应用上，覆盖系数的确定比较困难，在特殊需要准确表达模糊信息的情况，使用C^* -模糊集显然更完备、更合理。

2.3 Vague集和C^*-模糊集

Vague集是论域内的元素和论域上的集合之间的关系是“在一定范围内属于”的关系，是一 个区间的表示，C^*-模糊集就是把这个区间用覆盖系数刻画，在这个划定的“一定 范围”用准确的数学语言描述。两者都是出于为了完整的表达模糊概念同一个目的，提出的 不同方案：Vague集直观的表述了支持、反对、中立的证据；C^*-模糊集提出用覆盖 系数，以概率的方式表述了模糊分界区域。

特别地，在关系运算方面，目前还在理论探索中，设X，Y是两个论域，称A∈F(X×Y)为X 到Y上的一个Vague关系， 对于X×Y中的任一元素(x, y)， x与y具有Vague关系A用 一真隶属函数t_A(x,y)和一假隶属函数f_A(x,y)表示。

Vague集合关系［9］如下：

(1) Vague关系的并和交

tA∩B(x,y)=min(t_A(x,y),t_B(x,y))

1-fA∩B(x,y)=1-max(f_A(x,y),f_B(x,y))

tA∪B(x,y)=max(t_A(x,y),t_B( x,y))

1-fA∪B=1-min(f_A(x,y),f_B(x,y))

(2) Vague集合求补

tA(x,y)=f_A(x,y)，1-fA(x,y)=1-t_A(x,y)

如此定义的Vague关系拘泥于元素之间的关系，忽略了论域的关系，其完备性不足，适 用范围有限。为完整刻画Vague集合关系，本文由C^*-模糊集合论思路，引用覆盖系 数概念，给出Vague集合关系如下:

tA(x,y)=f_A(x,y)+(1-t_A (x,y)-

f_A(x,y))=1-t_A(x,y)

tA∩B(x,y)=t_A(x,y)-t_A(x,y)t 〣｜A(x,y)

且，当A与B不相交时为0；A 与B相互包含时为min(t_A(x,y),t_B(x,y))；

tA∪B(x,y)=t_A(x,y)+t_B(x,y)t_A｜B(x,y)

且，当A与B不相交时为0 ；A与B相互包含时为max(t_A(x,y),t_B(x,y))。

略证：

tA∩B(x,y)=t_A(x,y)tB｜A(x,y)=

t_A(x,y)(1-tB｜A(x,y))=

t_A(x,y)-t_A(x,y)tB｜A(x,y)=

t_B(x,y)-t_B(x,y)tA｜B(x,y)[ZK)]

tA∪B(x,y)=t_A(x,y)+tA ∩B(x,y)=

t_A(x,y)+t_B(x,y)tA｜B(x,y)) =

t_B(x,y)+t_A(x,y)tB｜A(x,y)[ZK )]

同理，1-fA∪B(x,y)=1-f_A(x, y)-f_B(x, y)f A｜B(x, y)，且当A与B 相互包含时为

1- max(f_A(x,y),f_B(x,y))；

1-fA∩B(x,y)=1-f_A(x,y)+f_A(x,y) fB｜A(x,y)，且当A与B 相互包含时 为1- min(f_A(x,y),f_B(x,y))。

模糊集合论中tA(x,y)=f_A(x,y)， 不能完备地反映客观世界；C^*-模糊集合论中f_A(x,y)+(1-t_A(x,y)-f_A(x,y)) 即为t_A(x,y)的共轭；Vague集合中把存在既属于又不属于的客观现象归结于1-t_A(x ,y)-f_A(x,y)，可以说，Vague集是具体应用中不失方便又符合客观的一种方法。

3 三种理论的发展及应用

模糊集理论目前一直沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。理论研究主要是经 典数学概念的模糊化。在目前学科交叉细化和模糊集自身的复杂层次结构的情况下，理论研 究更深入，目前已形成模糊拓扑、模糊代数、模糊分析、模糊测度及模糊计算机等模糊数学 分支。应用研究主要对模糊性的内在规律的探索、对模糊逻辑和模糊信息处理技术的研究， 其应用范围遍及社会科学和自然科学的几乎所有领域，许多方面诸如模糊控制、模糊决策、 聚类分析、人工智能等取得了显著成就。

Vague集对模糊概念的描述比模糊集更加符合客观实际，有着更好的效果，对于数据本 身的未知性、不确定性的描述比较准确，目前主要应用在机器学习、聚类分析等领域。具体 在这个概念下的Vague集合关系应用到数据挖掘中的模糊聚类算法，图像处理，应用Vague相 似度量理论提出的建筑设计、对PID参数整定以及多目标模糊决策等，可以说应用范围正在 迅速向社会科学和自然科学的各个领域扩展。

C^*-模糊集理论与概率论的基本部分可以统一定义，从理论上发展了模糊集合论， 使Zadeh 的模糊集合论成为其子系统，作为一新提出的概念，目前只是在理论探索中，尚未实际应用 到技术领域，但从其发展来看，以其严谨的推理和客观完备性必将涉及到数据挖掘、信息安 全等更为广泛的领域。

模糊集、Vague集、C^*-模糊集理论是一脉相承的，是在实际应用和理论研究中发展 着的经 典集合理论，使得集合论的应用扩展到更多处理不确定问题领域中。在集合论的各种扩展理 论之上，文献［12］又提出统一集理论，在人工智能等应用上描述了一个统一模型。各种 理论一直在向前发展不断完善中。

参考文献：

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［2］ GAU W L,BUEHRER D J.Vague Sets［J］.IEEE Transactions on Sys tems, Man and Cybernetics,1993,23(2):610-614.

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［5］ 高庆狮,高小宇,胡月.概率论基本部分与模糊集合理论的统一定义［J］.大 连理工大学报,2006,46(1):141-150.

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［11］ LIN H,LIN C Y,HE Z X.The Mathematic Tools Describing Lar ge Scale Systems:Fuzzy Sets,Extension Sets,Vague Sets,Set Pair Analysis and Their Relation［C］//Proceedings of the 4th World Congress and Automation. Sha nghai Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc, 2002， 6:

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［12］ 张江，林华，贺仲雄.统一集论与人工智能［J］.中国工程科学,2002 ,4(3):40-47.

(责任编辑：何学华)