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两圆相减为什么是直线

2008-01-05楼文胜

中学数学研究 2008年11期
关键词:分点两圆圆圆

楼文胜

浙江电大富阳学院 (311400)

一、问题的提出

在普通高中课程标准实验教科书《数学》(2)“圆与圆的位置关系”中有一个例题:已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的关系.教材的解法为:

圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组x2+y2+2x+8y-8=0 (1)

x2+y2-4x-4y-2=0 (2)(1)-(2),得x+2y-1=0(3),由(3)得y=x-12,代入(1),并整理得x2-2x-3=0(4),方程(4)根的判别式△=(-2)2-4×1×(-3)>0.

所以方程(4)有两个不相等的实数根.也即方程组有两个解,所以两个圆相交.

此解法的旁注中,提出了如下思考问题:“画出圆C1与圆C2以及方程(3)表示的直线,你发现了什么?你能说明为什么吗?”

笔者在教学中发现:学生能够发现(3)是过两圆交点的直线,也能说明理由.但当笔者按照教参的要求提出:“当两圆相切、相离或内含时,两圆方程相减为什么还是直线方程?这条直线与两圆在图像特征上存在什么关系?同心时相减为什么又不是直线方程?”,让学生在课外作为研究性学习的课题,基本上学生都不能完整解决这一课题.笔者向同行们请教,大家均说没有深入思考过这一问题,说明旁注没有引起数学教师们的重视.教参对各个习题均给出了解答,但对上述这么有意义的问题却没有给出参考答案或提示,笔者认为这实在是一个遗憾,所以不惴浅薄,在这儿给出一个解答,供大家参考.

二、问题的探究

右图是例题的图示,A、B是两圆的交点,如设A(x1,y1),B(x2,y2),则其坐标满足(3)是易于说明的,但是(3)所代表的直线还有不少点,其含义是什么呢?其实上面(1)、(2)组成的方程组,相减得到(3)并不是等价的,与(3)等价的应该是(1)、(2)两式的右边同时加上一个常数k,即x2+y2+2x+8y-8=k (1)

x2+y2-4x-4y-2=k (2)加k的几何意义是C1的半径变为25+k,C2的半径变为10+k,这样k一变就得到一组圆,如有两个交点就在(3)所表示的直线上,让k变动,就能得到很多交点,这些交点构成直线(3).

同样的理由可以说明为什么相离两圆的方程相减还是直线方程.不失一般性,我们可以举两个简单的圆方程加以说明:x2+y2=1(5),(x-3)2+y2=1(6),易知两圆相离,(5)-(6)得x=32(7),(7)与(5)、(6)式并不等价,要等价在(5)、(6)两式右边可以同加一个常数k,如k为正,则(5)(6)两圆的半径同时扩大,当扩大到一定程度两圆相切,进而相交,这些交点构成了直线(7).因为两圆一开始相离,半径扩大后才相交,所以交线肯定在一开始两圆的外部,由圆的对称性,相减所得直线必与两圆的连心线垂直.这儿需要说明的是,如一开始两圆的半径不等,则两圆的半径也不是相同数量扩大的.

可以完全类似的说明相切、内含两圆的方程相减也是直线方程.这儿再讲一下为什么同心两圆的方程相减得到的不是直线方程,如x2+y2=1,x2+y2=2,相减得0=1,这是因为半径在扩大的过程中,两圆始终不相交,当然也就不会出现交线了.

三、问题的结论与应用

由上面探究,我们可以得到一个初步结论:当两圆相交时,两圆方程相减得到方程所表示的直线是两圆交点的连线;当两圆相切时,两圆方程相减得到方程所表示的直线是过两圆交点的两圆的公切线;当两圆内含时,两圆方程相减所得的方程所表示的直线在两个圆的外部,且与两圆的连心线垂直(延长线);当两圆相离时,两圆方程相减所得的方程所表示的直线在两个圆外部,且与两圆的连心线垂直.

从上面初步结论可知:两圆相减所得直线与连心线交于两圆变化过程中的相切位置.由此,若两圆方程已知,我们可以定量的知道交点的位置.

设圆C1的方程:(x-x1)2+(y-y1)2=R2,圆C2的方程为(x-x2)2+(y-y2)2=r2,两圆的圆心距为d,如两圆外离,且方程右边加k后相切,则R2+k+r2+k=d,解得r2+k=d2+r2-R22d,R2+k=d2+R2-r22d.所以直线与连心线(小圆圆心为起点、大圆圆心为终点)交于定比为d2+r2-R2d2+R2-r2的分点处,当两圆外切时结论仍成立.

设圆C1的方程:(x-x1)2+(y-y1)2=R2,圆C2的方程:(x-x2)2+(y-y2)2=r2,两圆的圆心距为d,如两圆内含时(不同心),如方程右边加k后相切,则R2+k-r2+k=d,同理可求得直线与连心线(小圆圆心为起点、大圆圆心为终点)交于定比为d2+r2-R2d2+R2-r2(这时小于0)的分点处,当两圆内切时结论仍成立.

综上,两圆方程相减所得直线方程与连心线(小圆圆心为起点、大圆圆心为终点)垂直交于定比为d2+r2-R2d2+R2-r2的分点处.

应用举例

例 从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3),向该圆引切线PA、PB,切点为A,B,求过A、B的直线方程.

解法一:如设已知圆的圆心为C,根据几何性质知,切点是以PC为直径的圆与圆C的交点,以PC为直径的圆方程为(x-1)(x-2)+(y-1)(y-3)=0,联立

(x-1)(x-2)+(y-1)(y-3)=0 (1)

(x-1)2+(y-1)2=1 (2)

(1)-(2)得x+2y-4=0,即为AB的直线方程.

解法二:因为PA=PB,所求直线AB可以看作以P为圆心、以PA为半径的圆与圆C相减所得,易知以P为圆心、PA为半径的圆方程是(x-2)2+(y-3)2=4,与圆C方程联立得(x-2)2+(y-3)2=4,

(x-1)2+(y-1)2=1,相减得x+2y-4=0,即为AB所在直线方程.

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