王志南

贵刊2006年第4期刊登了曹秋桦老师撰写的《错出真实，打造本色课堂》一文，文中从“呈现错误，制造争议”、“捕捉错误，呈现精彩”、“直面错误，追寻真实”三个角度阐述了自己的观点。读后颇受启发，然而笔者对文中的案例一却是疑惑不断。

在案例一中，教师在教学“圆锥的体积”时，教师让学生分组做实验：往空圆锥里装沙子，然后倒入空圆柱中，看看几次能正好装满。由于教师给学生的是不同的圆柱和圆锥，导致有的小组圆锥的体积是圆柱的三分之一，有的小组圆锥的体积是圆柱的二分之一或四分之一。最终，学生明白：只有在等底等高的情况下，圆锥的体积才是圆柱的三分之一。关于这个案例，笔者有三点疑惑，与曹老师商榷。

1．师生果真出现错误了吗?

这样的教学过程，教者认为是学生“暴露错误”的过程。其实我认为，从教师提供的圆柱与圆锥来看，有的小组得出“圆锥的体积是圆柱的二分之一或四分之一”也是正确的。因为对教师提供的特定的圆柱与圆锥而言，这是学生通过实验证明了的事实。因此，认定这一过程“教师制造了一个小小的错误”是不严谨的，最多算是一个“假性错误”。所以，建议教师这样设问：“为什么书上的结论与我们的实验结果不同呢?”

2．这样的设计科学吗?

笔者认为，通过实验得出“有的圆锥的体积不是圆柱的三分之一”这一结论，过于耗时且无太多意义。因为研究圆锥体积与圆柱体积之间的关系，首要的条件就是圆柱与圆锥必须等底等高。教师可提问学生：“要研究圆锥和圆柱之间的体积关系，圆锥和圆柱最好要满足什么条件?”这一个过程，一笔带过即可，不需花过多的时间和精力。

同时，实验的目的是为了让学生自主探究发现“等底等高的圆锥与圆柱之间的体积关系”，而不是为了验证书本上的结论。所以，教者这样的设计目标定位，本身就显得南辕北辙。而通过这一结论来反证“只有在等底等高的情况下，圆锥的体积才是圆柱的三分之一”，这一反证过程也是不成立的。

3．这样的说法正确吗?

曹老师认为，“只有在等底等高的情况下。圆锥的体积才是圆柱体积的三分之一”。这一说法是错误的，“只有”一词，表明了这一前提的唯一性，事实并非如此。

实际上，对于不等底等高的圆柱与圆锥，只要满足“圆柱的底面半径的平方等于圆锥的高，圆柱的高等于圆锥的底面半径的平方”这两个条件，圆锥的体积也等于圆柱体积的三分之一。如当圆柱的r=3、h=16时，圆锥的r=4、h=9时，圆锥的体积也是圆柱体积的三分之一。所以正确的说法是：“如果圆柱与圆锥等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。”“等底等高”是一个充分条件，不是一个必要条件。

事实上，即使等底等高的圆柱与圆锥，通过实验得出“圆锥的体积是圆柱体积的三分之一”这一结论也不容易。实验过程往往受沙子被压得过实或圆锥底部未填满等诸多因素影响，致使圆锥的体积大于或小于圆柱的体积。如果教者能正视这个错误，引导学生仔细分析原因，得出正确结论，这倒是一个教师直面错误和培养学生科学探究态度的极好素材。

以上观点，如有不妥，还望同仁们指教。